Завдання № 35. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках $A(1;0)$, $B(4;-4)$, $C(8;-1)$ і $D(5;3)$ є квадратом.

Покроковий розв’язок:
Щоб довести, що чотирикутник є квадратом, послідовно перевіримо такі властивості:

1) чи є він паралелограмом (за ознакою про діагоналі, які діляться навпіл у точці перетину);

2) чи є він прямокутником (за ознакою рівності діагоналей);

3) чи є він ромбом (за рівністю сусідніх сторін). Прямокутник із рівними суміжними сторонами є квадратом.

1. Доведення, що чотирикутник $ABCD$ — паралелограм
Знайдемо координати середини діагоналі $AC$ (позначимо її $O_1$):
$x_{O_1}=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{1+8}{2}=\frac{9}{2}=4,5$
$y_{O_1}=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{0+(-1)}{2}=-\frac{1}{2}=-0,5$
Отже, точка $O_1$ має координати $(4,5;-0,5)$.

Знайдемо координати середини діагоналі $BD$ (позначимо її $O_2$):
$x_{O_2}=\frac{x_B+x_D}{2}=\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}=4,5$
$y_{O_2}=\frac{y_B+y_D}{2}=\frac{-4+3}{2}=-\frac{1}{2}=-0,5$
Отже, точка $O_2$ має координати $(4,5;-0,5)$.

Оскільки середини діагоналей збігаються ($O_1=O_2$), діагоналі чотирикутника $ABCD$ перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. За ознакою паралелограма чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом.

2. Доведення, що паралелограм $ABCD$ — прямокутник
Обчислимо довжини діагоналей $AC$ і $BD$ за формулою відстані між двома точками:
$AC=\sqrt{(x_C-x_A{)}^2+(y_C-y_A{)}^2}=\sqrt{(8-1{)}^2+(-1-0{)}^2}=\sqrt{7^2+(-1{)}^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
$BD=\sqrt{(x_D-x_B{)}^2+(y_D-y_B{)}^2}=\sqrt{(5-4{)}^2+(3-(-4){)}^2}=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

Оскільки діагоналі паралелограма рівні ($AC=BD$), за ознакою прямокутника $ABCD$ є прямокутником.

3. Доведення, що прямокутник $ABCD$ — квадрат
Обчислимо довжини двох суміжних сторін $AB$ і $BC$:
$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}=\sqrt{(4-1{)}^2+(-4-0{)}^2}=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
$BC=\sqrt{(x_C-x_B{)}^2+(y_C-y_B{)}^2}=\sqrt{(8-4{)}^2+(-1-(-4){)}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

Сусідні сторони прямокутника рівні ($AB=BC=5$). Прямокутник, у якого всі сторони рівні, є квадратом.

Отже, чотирикутник $ABCD$ є квадратом, що й треба було довести.

Відповідь:
Доведено. Чотирикутник $ABCD$ є квадратом, оскільки його діагоналі перетинаються і діляться навпіл у спільній точці $(4,5;-0,5)$ (паралелограм), мають однакову довжину $AC=BD=5\sqrt{2}$ (прямокутник), а сусідні сторони рівні $AB=BC=5$.