Завдання № 34. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Для сторін трикутника $a$, $b$, $c$ виконується рівність $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}bc$. Знайдіть радіус кола, описаного навколо цього трикутника, якщо його найбільша сторона дорівнює $6\sqrt{2}\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення кута трикутника за теоремою косинусів

Нехай у трикутнику проти сторони $a$ лежить кут $\alpha$. За теоремою косинусів для сторони $a$ маємо:
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

З іншого боку, за умовою задачі задано співвідношення:
$a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}bc$

Прирівняємо праві частини обох рівностей:
$b^2+c^2-2bc\cos \alpha =b^2+c^2+\sqrt{2}bc$

Віднімемо $b^2+c^2$ від обох частин рівняння:
$-2bc\cos \alpha =\sqrt{2}bc$

Оскільки довжини сторін $b>0$ та $c>0$, поділимо обидві частини на $bc$:
$-2\cos \alpha =\sqrt{2}$

Звідси знаходимо косинус кута $\alpha$:
$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Оскільки значення косинуса від’ємне, кут $\alpha$ є тупим:
$\alpha =180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$

2. Аналіз найбільшої сторони

У будь-якому трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона. Оскільки кут $\alpha =135^{\circ }$ є тупим, він є найбільшим кутом у трикутнику. Отже, протилежна йому сторона $a$ є найбільшою стороною трикутника, тобто:
$a=6\sqrt{2}\text{ см}$

3. Знаходження радіуса описаного кола за теоремою синусів

За наслідком з теореми синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу $R$ описаного кола:
$\frac{a}{\sin \alpha }=2R⟹R=\frac{a}{2\sin \alpha }$

Знайдемо значення $\sin 135^{\circ }$:
$\sin 135^{\circ }=\sin (180^{\circ }-45^{\circ })=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Підставимо відомі величини у формулу для радіуса:
$R=\frac{6\sqrt{2}}{2\cdot \sin 135^{\circ }}=\frac{6\sqrt{2}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6\text{ см}$

Відповідь:
$6\text{ см}$