Завдання № 34. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
В основі піраміди лежить ромб, сторона якого дорівнює $30\text{ см}$, а діагоналі відносяться як $3:4$. Знайдіть об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює $9\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження довжин діагоналей ромба

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$ ($x>0$). Тоді діагоналі ромба становлять:
$d_1=3x,d_2=4x$

За властивістю ромба, його діагоналі взаємно перпендикулярні й точкою перетину діляться навпіл. Отже, вони ділять ромб на чотири рівні прямокутні трикутники, катетами яких є половини діагоналей:
$a_1=\frac{d_1}{2}=\frac{3x}{2}=1,5x$
$a_2=\frac{d_2}{2}=\frac{4x}{2}=2x$

Гіпотенузою кожного з таких прямокутних трикутників є сторона ромба $a=30\text{ см}$.

За теоремою Піфагора:
$(1,5x{)}^2+(2x{)}^2=30^2$
$2,25x^2+4x^2=900$
$6,25x^2=900$
$x^2=\frac{900}{6,25}$
$x^2=144$
$x=12$

Обчислюємо довжини діагоналей ромба:
$d_1=3\cdot 12=36\text{ см}$
$d_2=4\cdot 12=48\text{ см}$

2. Обчислення площі основи піраміди

Основою піраміди є ромб. Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей:
$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$
$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot 36\cdot 48=18\cdot 48=864{\text{ см}}^2$

3. Обчислення об’єму піраміди

Об’єм піраміди обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h$
де $h=9\text{ см}$ — висота піраміди.

$V=\frac{1}{3}\cdot 864\cdot 9=864\cdot 3=2592{\text{ см}}^3$

Відповідь:
$2592{\text{ см}}^3$.