Завдання № 34. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Навколо кола радіуса $r$ описано трикутник, кути якого відносяться як $1:2:3$. Знайдіть довжини трьох дуг, на які коло ділиться точками дотику.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження кутів трикутника

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$. За умовою кути трикутника відносяться як $1:2:3$, отже, вони дорівнюють $x$, $2x$ та $3x$.

Оскільки сума кутів будь-якого трикутника дорівнює $180^{\circ }$, маємо рівняння:
$x+2x+3x=180^{\circ }$
$6x=180^{\circ }$
$x=30^{\circ }$

Таким чином, кути трикутника становлять:

• перший кут: $\angle A=30^{\circ }$;
• другий кут: $\angle B=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }$;
• третій кут: $\angle C=3\cdot 30^{\circ }=90^{\circ }$.

2. Знаходження градусних мір дуг між точками дотику

Позначимо точки дотику вписаного кола зі сторонами $AC$, $BC$ та $AB$ відповідно як $N$, $K$ та $M$, а центр кола — як $O$.

За властивістю дотичної до кола, радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до відповідної сторони:
$ON\perp AC,OK\perp BC,OM\perp AB$

Розглянемо опуклі чотирикутники, утворені вершинами трикутника, точками дотику та центром кола:

• У чотирикутнику $ONCK$ сума кутів дорівнює $360^{\circ }$. Оскільки $\angle ONC=90^{\circ }$ та $\angle OKC=90^{\circ }$, то:
  $\angle NOK=180^{\circ }-\angle C=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$
  Отже, градусна міра дуги $\cup NK$ дорівнює $90^{\circ }$.

• У чотирикутнику $OKBM$ аналогічно:
  $\angle KOM=180^{\circ }-\angle B=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$
  Отже, градусна міра дуги $\cup KM$ дорівнює $120^{\circ }$.

• У чотирикутнику $OMAN$:
  $\angle MON=180^{\circ }-\angle A=180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$
  Отже, градусна міра дуги $\cup MN$ дорівнює $150^{\circ }$.

(Перевірка суми дуг кола: $90^{\circ }+120^{\circ }+150^{\circ }=360^{\circ }$).

3. Обчислення довжин дуг кола

Довжина дуги кола радіуса $r$ з градусною мірою $\alpha$ обчислюється за формулою:
$l=\frac{\pi \cdot r\cdot \alpha }{180^{\circ }}$

Підставимо отримані значення градусних мір для кожної з трьох дуг:

• Для дуги $NK$ ($\alpha =90^{\circ }$):
  $l_{NK}=\frac{\pi \cdot r\cdot 90^{\circ }}{180^{\circ }}=\frac{\pi \cdot r}{2}$

• Для дуги $KM$ ($\alpha =120^{\circ }$):
  $l_{KM}=\frac{\pi \cdot r\cdot 120^{\circ }}{180^{\circ }}=\frac{2\cdot \pi \cdot r}{3}$

• Для дуги $MN$ ($\alpha =150^{\circ }$):
  $l_{MN}=\frac{\pi \cdot r\cdot 150^{\circ }}{180^{\circ }}=\frac{5\cdot \pi \cdot r}{6}$

Відповідь: $\frac{\pi \cdot r}{2}$, $\frac{2\cdot \pi \cdot r}{3}$, $\frac{5\cdot \pi \cdot r}{6}$.