Завдання № 34. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Розв’яжіть трикутник $A B C$ , якщо:

1) $B C = 3 см$ , $A B = 4 см$ , $∠ B = 5 8^{\circ}$ ;

2) $A B = 7 см$ , $A C = 8 см$ , $∠ A = 13 9^{\circ}$ ;

3) $B C = 4 см$ , $∠ B = 4 8^{\circ}$ , $∠ C = 11 5^{\circ}$ ;

4) $A B = 10 см$ , $∠ A = 9^{\circ}$ , $∠ C = 9 7^{\circ}$ ;

5) $A B = 5 см$ , $B C = 8 см$ , $A C = 7 см$ ;

6) $A B = 3 см$ , $B C = 4 см$ , $A C = 6 см$ .

Невідомі сторони знайдіть із точністю до сотих сантиметра, а невідомі кути — із точністю до градуса.

Покроковий розв’язок:

1) Дано: $B C = 3 см$ , $A B = 4 см$ , $∠ B = 5 8^{\circ}$ .

За теоремою косинусів знайдемо невідому сторону $A C$ :

A C = B C^{2} + A B^{2} - 2 \cdot B C \cdot A B \cdot cos B = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot cos 5 8^{\circ} = 9 + 16 - 24 \cdot 0, 5299 = 25 - 12, 7176 = 12, 2824 \approx 3, 50 см .

За теоремою синусів визначимо кут $C$ :

\frac{A C}{sin B} sin C = \frac{A B}{sin C} ⟹ sin C = \frac{A B \cdot sin B}{A C} \approx \frac{4 \cdot sin 5 8 ^{\circ}}{3 , 50} \approx \frac{4 \cdot 0 , 8480}{3 , 50} \approx 0, 9691.

Оскільки проти меншої сторони лежить менший кут ( $A B > B C$ , тому кут $C$ гострий або тупий, але оскільки $A C < A B$ , то $∠ B < ∠ C$ , а найбільша сторона $A B = 4$ , проти неї лежить кут $C$ ):

∠ C \approx 7 6^{\circ} .

За теоремою про суму кутів трикутника:

∠ A = 18 0^{\circ} - (∠ B + ∠ C) \approx 18 0^{\circ} - (5 8^{\circ} + 7 6^{\circ}) = 4 6^{\circ} .

2) Дано: $A B = 7 см$ , $A C = 8 см$ , $∠ A = 13 9^{\circ}$ .

За теоремою косинусів знайдемо сторону $B C$ :

B C = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos A = 7^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot cos 13 9^{\circ} .

Враховуючи, що $cos 13 9^{\circ} = - cos (18 0^{\circ} - 13 9^{\circ}) = - cos 4 1^{\circ} \approx - 0, 7547$ :

B C = 49 + 64 - 112 \cdot (- 0, 7547) = 113 + 84, 5264 = 197, 5264 \approx 14, 05 см .

За теоремою синусів знайдемо кут $C$ :

sin C = \frac{A B \cdot sin A}{B C} = \frac{7 \cdot sin 13 9 ^{\circ}}{14 , 05} = \frac{7 \cdot sin 4 1 ^{\circ}}{14 , 05} \approx \frac{7 \cdot 0 , 6561}{14 , 05} \approx 0, 3268.

Звідси:

∠ C \approx 1 9^{\circ} .

За теоремою про суму кутів трикутника:

∠ B = 18 0^{\circ} - (∠ A + ∠ C) \approx 18 0^{\circ} - (13 9^{\circ} + 1 9^{\circ}) = 2 2^{\circ} .

3) Дано: $B C = 4 см$ , $∠ B = 4 8^{\circ}$ , $∠ C = 11 5^{\circ}$ .

За теоремою про суму кутів трикутника знайдемо кут $A$ :

∠ A = 18 0^{\circ} - (∠ B + ∠ C) = 18 0^{\circ} - (4 8^{\circ} + 11 5^{\circ}) = 1 7^{\circ} .

За теоремою синусів обчислимо сторони $A B$ та $A C$ :

A B A C = \frac{B C \cdot sin C}{sin A} = \frac{4 \cdot sin 11 5 ^{\circ}}{sin 1 7 ^{\circ}} = \frac{4 \cdot sin 6 5 ^{\circ}}{sin 1 7 ^{\circ}} \approx \frac{4 \cdot 0 , 9063}{0 , 2924} \approx 12, 40 см, = \frac{B C \cdot sin B}{sin A} = \frac{4 \cdot sin 4 8 ^{\circ}}{sin 1 7 ^{\circ}} \approx \frac{4 \cdot 0 , 7431}{0 , 2924} \approx 10, 17 см .

4) Дано: $A B = 10 см$ , $∠ A = 9^{\circ}$ , $∠ C = 9 7^{\circ}$ .

За теоремою про суму кутів трикутника:

∠ B = 18 0^{\circ} - (∠ A + ∠ C) = 18 0^{\circ} - (9^{\circ} + 9 7^{\circ}) = 7 4^{\circ} .

За теоремою синусів знайдемо сторони $B C$ та $A C$ :

B C A C = \frac{A B \cdot sin A}{sin C} = \frac{10 \cdot sin 9 ^{\circ}}{sin 9 7 ^{\circ}} = \frac{10 \cdot sin 9 ^{\circ}}{sin 8 3 ^{\circ}} \approx \frac{10 \cdot 0 , 1564}{0 , 9925} \approx 1, 58 см, = \frac{A B \cdot sin B}{sin C} = \frac{10 \cdot sin 7 4 ^{\circ}}{sin 9 7 ^{\circ}} = \frac{10 \cdot sin 7 4 ^{\circ}}{sin 8 3 ^{\circ}} \approx \frac{10 \cdot 0 , 9613}{0 , 9925} \approx 9, 69 см .

5) Дано: $A B = 5 см$ , $B C = 8 см$ , $A C = 7 см$ .

За наслідком з теореми косинусів знайдемо кут $A$ :

cos A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} = \frac{5 ^{2} + 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7} \approx 0, 1429 ⟹ ∠ A \approx 8 2^{\circ} .

Аналогічно знайдемо кут $B$ :

cos B = \frac{A B ^{2} + B C ^{2} - A C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot B C} = \frac{5 ^{2} + 8 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = 0, 5 ⟹ ∠ B = 6 0^{\circ} .

За теоремою про суму кутів трикутника:

∠ C = 18 0^{\circ} - (∠ A + ∠ B) \approx 18 0^{\circ} - (8 2^{\circ} + 6 0^{\circ}) = 3 8^{\circ} .

6) Дано: $A B = 3 см$ , $B C = 4 см$ , $A C = 6 см$ .

За наслідком з теореми косинусів знайдемо кут $A$ :

cos A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} = \frac{3 ^{2} + 6 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{9 + 36 - 16}{36} = \frac{29}{36} \approx 0, 8056 ⟹ ∠ A \approx 3 6^{\circ} .

Знайдемо кут $B$ :

cos B = \frac{A B ^{2} + B C ^{2} - A C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot B C} = \frac{3 ^{2} + 4 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 36}{24} = - \frac{11}{24} \approx - 0, 4583.

Оскільки косинус від’ємний, кут $B$ є тупим:

∠ B \approx 18 0^{\circ} - 6 3^{\circ} = 11 7^{\circ} .

За теоремою про суму кутів трикутника:

∠ C = 18 0^{\circ} - (∠ A + ∠ B) \approx 18 0^{\circ} - (3 6^{\circ} + 11 7^{\circ}) = 2 7^{\circ} .

Відповідь:

1) $A C \approx 3, 50 см$ , $∠ A \approx 4 6^{\circ}$ , $∠ C \approx 7 6^{\circ}$ ;

2) $B C \approx 14, 05 см$ , $∠ B \approx 2 2^{\circ}$ , $∠ C \approx 1 9^{\circ}$ ;

3) $∠ A = 1 7^{\circ}$ , $A B \approx 12, 40 см$ , $A C \approx 10, 17 см$ ;

4) $∠ B = 7 4^{\circ}$ , $B C \approx 1, 58 см$ , $A C \approx 9, 69 см$ ;

5) $∠ A \approx 8 2^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $∠ C \approx 3 8^{\circ}$ ;

6) $∠ A \approx 3 6^{\circ}$ , $∠ B \approx 11 7^{\circ}$ , $∠ C \approx 2 7^{\circ}$ .

Завдання № 34. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку