Завдання № 34. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Відрізок $AM$ — медіана трикутника $ABC$. Доведіть, що:

Покроковий розв’язок:

1. Вираження вектора медіани за правилом трикутника:
Розглянемо $△ABM$. За правилом додавання векторів (правилом трикутника), вектор $\overrightarrow{AM}$ можна подати як суму:

2. Використання властивості медіани:
За умовою, відрізок $AM$ є медіаною трикутника $ABC$, отже, точка $M$ — середина сторони $BC$.
Оскільки точка $M$ лежить на відрізку $BC$, вектори $\overrightarrow{BM}$ і $\overrightarrow{BC}$ є співнапрямленими ($\overrightarrow{BM}\uparrow \uparrow \overrightarrow{BC}$), а довжина відрізка $BM$ дорівнює половині довжини $BC$:

3. Вираження вектора сторони $\overrightarrow{BC}$ через вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{AC}$:
За правилом віднімання векторів (або з векторної рівності $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$):

4. Перетворення векторного виразу:
Підставимо вираз вектора $\overrightarrow{BC}$ у рівність для вектора $\overrightarrow{BM}$:

Підставимо отриманий вираз $\overrightarrow{BM}$ у векторну суму для $\overrightarrow{AM}$:

Відповідь:
Рівність $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ доведено.