Завдання № 34. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи лежать точки $A$, $B$ і $C$ на одній прямій, якщо:

1) $A(3;4)$, $B(-1;0)$, $C(-6;-5)$;

2) $A(0;3)$, $B(4;8)$, $C(1;2)$?

Якщо відповідь ствердна, визначте, яка з точок лежить між двома іншими.

Покроковий розв’язок:

Для того щоб три точки лежали на одній прямій, необхідно й достатньо, щоб довжина найбільшого з утворених ними відрізків дорівнювала сумі довжин двох інших відрізків (основна властивість розміщення точок на прямій). Якщо ця рівність виконується, то спільна точка двох менших відрізків лежить між двома іншими точками.

Відстань між двома точками $M(x_1;y_1)$ і $N(x_2;y_2)$ обчислюється за формулою:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

1. Дослідження точок $A(3;4)$, $B(-1;0)$, $C(-6;-5)$:

Обчислимо довжини відрізків $AB$, $BC$ та $AC$:

$AB=\sqrt{(-1-3{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{(-4{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

$BC=\sqrt{(-6-(-1){)}^2+(-5-0{)}^2}=\sqrt{(-5{)}^2+(-5{)}^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

$AC=\sqrt{(-6-3{)}^2+(-5-4{)}^2}=\sqrt{(-9{)}^2+(-9{)}^2}=\sqrt{81+81}=\sqrt{162}=9\sqrt{2}$

Порівняємо довжину найбільшого відрізка із сумою двох інших:
$AB+BC=4\sqrt{2}+5\sqrt{2}=9\sqrt{2}=AC$

Оскільки рівність $AB+BC=AC$ виконується, точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій, а точка $B$ лежить між точками $A$ і $C$.

2. Дослідження точок $A(0;3)$, $B(4;8)$, $C(1;2)$:

Обчислимо довжини відрізків $AB$, $BC$ та $AC$:

$AB=\sqrt{(4-0{)}^2+(8-3{)}^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$

$BC=\sqrt{(1-4{)}^2+(2-8{)}^2}=\sqrt{(-3{)}^2+(-6{)}^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

$AC=\sqrt{(1-0{)}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

Найбільшим із трьох відрізків є $BC=\sqrt{45}$, оскільки $\sqrt{45}>\sqrt{41}>\sqrt{2}$.

Перевіримо, чи дорівнює довжина найбільшого відрізка сумі двох менших:
$AB+AC=\sqrt{41}+\sqrt{2}$

Оскільки $\sqrt{41}+\sqrt{2}\ne \sqrt{45}$ (зокрема, $(\sqrt{41}+\sqrt{2}{)}^2=41+2\sqrt{82}+2=43+2\sqrt{82}>43+2\cdot 9=61>45$), сума довжин двох менших відрізків не дорівнює довжині найбільшого.

Отже, точки $A$, $B$ і $C$ не лежать на одній прямій (вони є вершинами трикутника).

Відповідь:

1) Так, лежать; точка $B$ лежить між точками $A$ і $C$.

2) Ні, не лежать.