Завдання № 33. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Виведіть формулу для знаходження косинуса кута між прямими $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ і $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$.

Покроковий розв’язок:

1. Нормальні вектори прямих
Загальне рівняння прямої має вигляд $ax+by+c=0$. Вектор $\vec{n}(a;b)$, складений із коефіцієнтів при змінних $x$ та $y$, є перпендикулярним до цієї прямої (такий вектор називають нормальним вектором прямої).

Отже, для заданих прямих:

• до прямої $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ перпендикулярним є вектор ${\vec{n}}_1(a_1;b_1)$;
• до прямої $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ перпендикулярним є вектор ${\vec{n}}_2(a_2;b_2)$.

2. Зв’язок між кутом прямих і кутом між векторами
За означенням кут $\alpha$ між двома прямими, що перетинаються, не перевищує $90^{\circ }$, тобто $0^{\circ }\le \alpha \le 90^{\circ }$, а отже, $\cos \alpha \ge 0$.

Кут $\phi$ між нормальними векторами ${\vec{n}}_1$ та ${\vec{n}}_2$ може бути як гострим, так і тупим:

• якщо $\phi \le 90^{\circ }$, то $\alpha =\phi$, звідки $\cos \alpha =\cos \phi$;
• якщо $\phi >90^{\circ }$, то $\alpha =180^{\circ }-\phi$, звідки $\cos \alpha =\cos (180^{\circ }-\phi )=-\cos \phi$.

Об’єднуючи обидва випадки, маємо:

3. Знаходження косинуса кута через скалярний добуток
За означенням скалярного добутку векторів:

Звідси виразимо косинус кута $\phi$:

Тоді для косинуса шуканого кута $\alpha$ між прямими отримуємо:

4. Запис формули в координатах

• Скалярний добуток векторів: ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2$;
• Довжини векторів: $|{\vec{n}}_1|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}$ та $|{\vec{n}}_2|=\sqrt{a_2^2+b_2^2}$.

Підставивши координатні вирази у формулу, остаточно маємо:

Відповідь: $\cos \alpha =\frac{|a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$