Завдання № 33. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Побудуйте фігуру, у яку переходить квадрат при повороті навколо точки перетину його діагоналей на $45^{\circ }$ за годинниковою стрілкою.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості повороту
Поворот є рухом площини, тому він зберігає відстані між точками (довжини відрізків) та величини кутів. Образом будь-якого квадрата при повороті є рівний йому квадрат.

2. Геометричні особливості квадрата
Нехай дано квадрат $ABCD$, а точка $O$ — точка перетину його діагоналей.

• Діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні, рівні й точкою перетину діляться навпіл:
  $OA=OB=OC=OD=R$
• Кути між сусідніми півдіагоналями становлять $90^{\circ }$:
  $\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=\angle DOA=90^{\circ }$
• Точка $O$ є центром описаного навколо квадрата кола радіуса $R$. Усі вершини квадрата лежать на цьому колі.

3. Побудова повороту на $45^{\circ }$ за годинниковою стрілкою
При повороті навколо центра $O$ на кут $45^{\circ }$ за годинниковою стрілкою:

• Кожна вершина зміщується по дузі описаного кола на кут $45^{\circ }$ за годинниковою стрілкою:
  • промінь $OB$ переходить у промінь $O{B}^{\prime }$ такий, що $\angle BO{B}^{\prime }=45^{\circ }$;
  • промінь $OC$ переходить у промінь $O{C}^{\prime }$ такий, що $\angle CO{C}^{\prime }=45^{\circ }$;
  • промінь $OD$ переходить у промінь $O{D}^{\prime }$ такий, що $\angle DO{D}^{\prime }=45^{\circ }$;
  • промінь $OA$ переходить у промінь $O{A}^{\prime }$ такий, що $\angle AO{A}^{\prime }=45^{\circ }$.
• Відстані від центра до вершин зберігаються:
  $O{A}^{\prime }=O{B}^{\prime }=O{C}^{\prime }=O{D}^{\prime }=R$
• Оскільки кут повороту $45^{\circ }$ дорівнює половині прямого кута між діагоналями ($90^{\circ }:2=45^{\circ }$), нові діагоналі $A^{\prime }{C}^{\prime }$ та $B^{\prime }{D}^{\prime }$ стають бісектрисами кутів між початковими діагоналями квадрата (зокрема, діагональ $A^{\prime }{C}^{\prime }$ стає паралельною сторонам $AD$ і $BC$, а $B^{\prime }{D}^{\prime }$ — сторонам $AB$ і $CD$).

Сполучивши послідовно точки $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, $D^{\prime }$, отримуємо рівний початковому квадрат $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Відповідь:
Квадрат $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, рівний початковому квадрату $ABCD$.