Завдання № 33. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
За даною довжиною дуги $l$ знайдіть довжину її хорди, якщо градусна міра дуги дорівнює:

1) $135^{\circ }$;

2) $240^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Теоретичні відомості:

1) Довжина дуги кола радіуса $R$, яка відповідає центральному куту $\alpha$, обчислюється за формулою:
$l=\frac{\pi \cdot R\cdot \alpha }{180^{\circ }}⟹R=\frac{180^{\circ }\cdot l}{\pi \cdot \alpha }$

2) Нехай $a$ — довжина шуканої хорди $AB$. Розглянемо рівнобедрений трикутник $△AOB$, де бічні сторони є радіусами: $OA=OB=R$. За теоремою косинусів:
$a^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos \angle AOB$
$a=\sqrt{R^2+R^2-2\cdot R^2\cdot \cos \angle AOB}=\sqrt{2\cdot R^2\cdot (1-\cos \angle AOB)}=R\cdot \sqrt{2\cdot (1-\cos \angle AOB)}$

1. Градусна міра дуги $\alpha =135^{\circ }$:

• Знайдемо радіус кола $R$ через довжину дуги $l$:
  $l=\frac{\pi \cdot R\cdot 135^{\circ }}{180^{\circ }}=\frac{3\cdot \pi \cdot R}{4}⟹R=\frac{4\cdot l}{3\cdot \pi }$

• Оскільки дуга менша за розгорнутий кут, центральний кут рівнобедреного трикутника $△AOB$ дорівнює $\angle AOB=135^{\circ }$.

• Обчислимо косинус цього кута:
  $\cos 135^{\circ }=\cos (180^{\circ }-45^{\circ })=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

• Знайдемо довжину хорди $a$ за теоремою косинусів:

• Підставимо вираз для радіуса $R$:
  $a=\frac{4\cdot l}{3\cdot \pi }\cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}=\frac{4\cdot l\cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}}{3\cdot \pi }$

2. Градусна міра дуги $\alpha =240^{\circ }$:

• Знайдемо радіус кола $R$ через довжину дуги $l$:
  $l=\frac{\pi \cdot R\cdot 240^{\circ }}{180^{\circ }}=\frac{4\cdot \pi \cdot R}{3}⟹R=\frac{3\cdot l}{4\cdot \pi }$

• Оскільки градусна міра даної дуги більша за $180^{\circ }$, хорда стягує також доповняльну до неї меншу дугу кола:
  $360^{\circ }-240^{\circ }=120^{\circ }$
  Отже, внутрішній кут трикутника $△AOB$ дорівнює $\angle AOB=120^{\circ }$.

• Обчислимо косинус цього кута:
  $\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}=-0,5$

• Знайдемо довжину хорди $a$ за теоремою косинусів:

• Підставимо вираз для радіуса $R$:
  $a=\frac{3\cdot l}{4\cdot \pi }\cdot \sqrt{3}=\frac{3\cdot \sqrt{3}\cdot l}{4\cdot \pi }$

Відповідь:

1) $\frac{4\cdot l\cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}}{3\cdot \pi }$;

2) $\frac{3\cdot \sqrt{3}\cdot l}{4\cdot \pi }$.