Завдання № 33. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона квадрата дорівнює $a$. Знайдіть радіус кола, що проходить через вершину квадрата, точку перетину його діагоналей і середину сторони, яка не містить цієї вершини.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель задачі:
Нехай задано квадрат $ABCD$ зі стороною $a$, де $O$ — точка перетину його діагоналей.
Виберемо вершину $B$ та сторону $AD$, яка не містить цієї вершини. Позначимо середину сторони $AD$ як точку $K$.
За умовою, коло проходить через точки $B$, $O$ та $K$. Отже, це коло є описаним навколо трикутника $△BOK$, а шуканий радіус $R$ — радіусом описаного кола цього трикутника.

2. Обчислення сторони $BK$ трикутника $△BOK$:
Розглянемо прямокутний трикутник $△BAK$ з прямим кутом $\angle A=90^{\circ }$.
Оскільки точка $K$ — середина сторони $AD$, маємо:
$AK=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}$

За теоремою Піфагора:
$BK=\sqrt{B{A}^2+A{K}^2}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{5a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

3. Визначення кута $\angle BOK$:
Точка $K$ — середина сторони $AD$, а точка $O$ — центр симетрії квадрата, тому відрізок $KO$ лежить на середній лінії квадрата і паралельний стороні $AB$ ($KO\parallel AB$).
Діагональ квадрата $BD$ ділить кут $\angle B$ навпіл, отже:
$\angle ABD=45^{\circ }$

Оскільки прямі $KO$ та $AB$ паралельні, а $BD$ — їхня січна, то за властивістю внутрішніх односторонніх кутів:
$\angle BOK=180^{\circ }-\angle ABD=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$

4. Знаходження радіуса кола за теоремою синусів:
За теоремою синусів для трикутника $△BOK$:
$\frac{BK}{\sin \angle BOK}=2R$

Звідси виражаємо радіус $R$:
$R=\frac{BK}{2\cdot \sin \angle BOK}$

Враховуючи формулу зведення $\sin 135^{\circ }=\sin (180^{\circ }-45^{\circ })=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, підставимо значення довжини сторони $BK$ та синуса:
$R=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на $\sqrt{2}$:
$R=\frac{a\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}$

Відповідь: $\frac{a\sqrt{10}}{4}$