Завдання № 33. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
За яких значень $x$ вектори $\vec{a}(1;x)$ і $\vec{b}(x;9)$ колінеарні? Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?

Покроковий розв’язок:

1. Умова колінеарності векторів

За означенням колінеарності, два ненульові вектори $\vec{a}(x_1;y_1)$ та $\vec{b}(x_2;y_2)$ є колінеарними тоді й лише тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні, тобто існує таке число $k$, що $\vec{b}=k\cdot \vec{a}$, або:

Складемо пропорцію для векторів $\vec{a}(1;x)$ і $\vec{b}(x;9)$:

2. Знаходження значень $x$

Розв’яжемо отримане рівняння, скориставшись основною властивістю пропорції (добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів):

Звідси отримуємо два корені:

Оскільки жоден із знайдених коренів не дорівнює нулю (знаменник $x\ne 0$), обидва значення задовольняють умову колінеарності.

3. Визначення напрямку векторів

Напрямок колінеарних векторів визначається знаком коефіцієнта пропорційності $k$ у рівності $\vec{b}=k\cdot \vec{a}$:

• якщо $k>0$, то вектори співнапрямлені ($\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$);
• якщо $k<0$, то вектори протилежно напрямлені ($\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$).

Розглянемо обидва випадки:

1) При $x=3$:
Вектори мають координати $\vec{a}(1;3)$ та $\vec{b}(3;9)$.
Знайдемо коефіцієнт пропорційності:

Оскільки $k=3>0$, вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ є співнапрямленими ($\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$).

2) При $x=-3$:
Вектори мають координати $\vec{a}(1;-3)$ та $\vec{b}(-3;9)$.
Знайдемо коефіцієнт пропорційності:

Оскільки $k=-3<0$, вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ є протилежно напрямленими ($\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$).

Відповідь:
Вектори колінеарні при $x=3$ (вектори співнапрямлені) та при $x=-3$ (вектори протилежно напрямлені).