Завдання № 33. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Точки $M(-2;5)$, $N(4;-3)$, $P(0;1)$ — середини сторін трикутника. Знайдіть координати його вершин.

Покроковий розв’язок:

1. Введення позначень та формула середини відрізка
Нехай вершини шуканого трикутника мають координати $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$ та $C(x_C;y_C)$.
Нехай точка $M(-2;5)$ є серединою сторони $AB$, точка $N(4;-3)$ — серединою сторони $BC$, а точка $P(0;1)$ — серединою сторони $AC$.

За формулою координат середини відрізка:
$x_{\text{сер}}=\frac{x_1+x_2}{2},y_{\text{сер}}=\frac{y_1+y_2}{2}$

Звідси сума координат кінців відрізка дорівнює подвоєній координаті його середини:
$x_1+x_2=2\cdot x_{\text{сер}},y_1+y_2=2\cdot y_{\text{сер}}$

2. Обчислення абсцис ($x$) вершин трикутника
Складемо систему рівнянь для абсцис:

Додамо почленно всі три рівняння системи:
$(x_A+x_B)+(x_B+x_C)+(x_A+x_C)=-4+8+0$
$2\cdot (x_A+x_B+x_C)=4$
$x_A+x_B+x_C=2$

Тепер знайдемо абсцису кожної вершини, віднімаючи відповідні рівняння:
$x_C=(x_A+x_B+x_C)-(x_A+x_B)=2-(-4)=6$
$x_A=(x_A+x_B+x_C)-(x_B+x_C)=2-8=-6$
$x_B=(x_A+x_B+x_C)-(x_A+x_C)=2-0=2$

3. Обчислення ординат ($y$) вершин трикутника
Складемо аналогічну систему рівнянь для ординат:

Додамо почленно всі три рівняння системи:
$(y_A+y_B)+(y_B+y_C)+(y_A+y_C)=10+(-6)+2$
$2\cdot (y_A+y_B+y_C)=6$
$y_A+y_B+y_C=3$

Знаходимо ординату кожної вершини:
$y_C=(y_A+y_B+y_C)-(y_A+y_B)=3-10=-7$
$y_A=(y_A+y_B+y_C)-(y_B+y_C)=3-(-6)=9$
$y_B=(y_A+y_B+y_C)-(y_A+y_C)=3-2=1$

Таким чином, шукані вершини трикутника мають координати: $A(-6;9)$, $B(2;1)$, $C(6;-7)$.

4. Геометрична ілюстрація

Відповідь:
$(-6;9)$, $(2;1)$, $(6;-7)$