Завдання № 33. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
За яких умов $△ABC\sim △MNK$:

1) $AB=MN=40\text{ см}$, $BC=NK=25\text{ см}$;

2) $\angle A=\angle M$, $\frac{AB}{MN}=\frac{AC}{MK}$;

3) $\angle A=90^{\circ }$, $\angle B=50^{\circ }$, $\angle M=90^{\circ }$, $\angle N=30^{\circ }$;

4) $\angle C=\angle K$, $CB=6$, $CA=4$, $KN=3$, $KM=2$?

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження умови 1
Дано рівності сторін: $AB=MN=40\text{ см}$ та $BC=NK=25\text{ см}$.
Для подібності трикутників за двома сторонами необхідна рівність кутів, укладених між ними (тобто $\angle B=\angle N$), або рівність відношення третіх сторін. Оскільки про треті сторони або кути між даними сторонами інформація відсутня, трикутники $△ABC$ і $△MNK$ не обов’язково подібні.

2. Дослідження умови 2
Дано: $\angle A=\angle M$ та $\frac{AB}{MN}=\frac{AC}{MK}$.
Сторони $AB$ і $AC$ утворюють кут $\angle A$, а відповідні їм сторони $MN$ і $MK$ утворюють кут $\angle M$.
За другою ознакою подібності трикутників (за двома сторонами та кутом між ними): якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника, а кути, укладені між цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.
Отже, $△ABC\sim △MNK$.

3. Дослідження умови 3
Дано градусні міри двох кутів у кожному з трикутників:
$\angle A=90^{\circ }$, $\angle B=50^{\circ }$;
$\angle M=90^{\circ }$, $\angle N=30^{\circ }$.
За теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle C=180^{\circ }-(\angle A+\angle B)=180^{\circ }-(90^{\circ }+50^{\circ })=40^{\circ }$;
$\angle K=180^{\circ }-(\angle M+\angle N)=180^{\circ }-(90^{\circ }+30^{\circ })=60^{\circ }$.
Кути трикутника $△ABC$ дорівнюють $90^{\circ }$, $50^{\circ }$, $40^{\circ }$, а кути трикутника $△MNK$ — $90^{\circ }$, $30^{\circ }$, $60^{\circ }$. Відповідні кути не рівні, отже, трикутники не є подібними.

4. Дослідження умови 4
Дано: $\angle C=\angle K$, $CB=6$, $CA=4$, $KN=3$, $KM=2$.
Кут $\angle C$ лежить між сторонами $CB$ і $CA$, а кут $\angle K$ — між сторонами $KN$ і $KM$.
Перевіримо пропорційність відповідних сторін:

Оскільки $\frac{CB}{KN}=\frac{CA}{KM}=2$ та кути між ними рівні ($\angle C=\angle K$), то за другою ознакою подібності трикутників $△ABC\sim △MNK$.

Відповідь:
Трикутники подібні за умов 2) та 4). За умов 1) та 3) трикутники не подібні (в 1 — не обов’язково подібні).