Завдання № 33.17. § 33. Куля. Площа поверхні та об’єм кулі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює $c$, а радіус вписаного кола — $r$. Знайдіть площу трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай катети прямокутного трикутника дорівнюють $a$ та $b$, а гіпотенуза — $c$.

1. Зв’язок між радіусом вписаного кола та сторонами трикутника

Радіус $r$ вписаного кола прямокутного трикутника виражається через його катети та гіпотенузу за формулою:
$r=\frac{a+b-c}{2}$

Помножимо обидві частини рівності на $2$ та виразимо суму катетів $(a+b)$:
$a+b=2r+c$

2. Піднесення до квадрата та застосування теореми Піфагора

Піднесемо обидві частини отриманої рівності до квадрата:
$(a+b{)}^2=(2r+c{)}^2$
$a^2+2\cdot a\cdot b+b^2=4r^2+4\cdot r\cdot c+c^2$

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника маємо:
$a^2+b^2=c^2$

Підставимо $c^2$ замість суми $a^2+b^2$ у ліву частину рівняння:
$c^2+2\cdot a\cdot b=4r^2+4\cdot r\cdot c+c^2$

Віднімемо $c^2$ від обох частин рівності:
$2\cdot a\cdot b=4r^2+4\cdot r\cdot c$

Поділимо обидві частини на $2$:
$a\cdot b=2r^2+2\cdot r\cdot c$

3. Обчислення площі трикутника

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$

Підставимо знайдений вираз для добутку $a\cdot b$:
$S=\frac{1}{2}\cdot (2r^2+2\cdot r\cdot c)=r^2+r\cdot c=r\cdot (r+c)$

(Зауваження: цей самий результат можна отримати через формулу $S=p\cdot r$, де $p=\frac{a+b+c}{2}$ — півпериметр. Оскільки $a+b=2r+c$, маємо $p=\frac{2r+c+c}{2}=r+c$, звідки $S=(r+c)\cdot r=r\cdot (r+c)$).

Відповідь:
$r\cdot (r+c)$ (або $r^2+rc$).