Завдання № 33.15. § 33. Куля. Площа поверхні та об’єм кулі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кут між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ дорівнює $60^{\circ }$, $|\overrightarrow{a}|=2$, $|\overrightarrow{b}|=3$. Знайдіть $|4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$.

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок модуля вектора та його скалярного квадрата
За властивістю скалярного добутку, скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля:
$|\vec{v}{|}^2={\vec{v}}^2⟹|\vec{v}|=\sqrt{{\vec{v}}^2}$

Застосуємо цю властивість для вектора $4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$:
$|4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2=(4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{)}^2$

Розкриємо квадрат різниці за формулами скороченого множення, враховуючи властивості скалярного добутку векторів:
$(4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{)}^2=16{\overrightarrow{a}}^2-8(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})+{\overrightarrow{b}}^2$

2. Обчислення скалярних квадратів та скалярного добутку
Обчислимо кожен доданок окремо:

• Скалярний квадрат вектора $\overrightarrow{a}$:
  ${\overrightarrow{a}}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2=2^2=4$

• Скалярний квадрат вектора $\overrightarrow{b}$:
  ${\overrightarrow{b}}^2=|\overrightarrow{b}{|}^2=3^2=9$

• Скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ за означенням:
  $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos 60^{\circ }$
  Оскільки $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}=0,5$, маємо:
  $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\cdot 3\cdot 0,5=3$

3. Знаходження довжини шуканого вектора
Підставимо отримані значення у вираз для квадрата модуля:

Оскільки довжина (модуль) вектора є невід’ємною величиною, добуваємо арифметичний квадратний корінь:
$|4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{49}=7$

Геометрично різницю векторів $4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ можна проілюструвати за правилом трикутника для векторів, відкладених від спільного початку:

Відповідь:
$7$