Завдання № 33.14. § 33. Куля. Площа поверхні та об’єм кулі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Із точки кола до діаметра проведено перпендикуляр, який ділить його на відрізки у відношенні $4:9$. Знайдіть площу круга, обмеженого цим колом, якщо довжина перпендикуляра дорівнює $12\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична властивість висоти, проведеної до діаметра

Нехай $AB$ — діаметр кола з центром $O$, а точка $C$ лежить на колі. З точки $C$ проведено перпендикуляр $CH\perp AB$, де $H$ — основа перпендикуляра.

Оскільки вписаний кут $\angle ACB$ спирається на діаметр $AB$, він є прямим ($\angle ACB=90^{\circ }$). Тоді трикутник $△ACB$ — прямокутний із гіпотенузою $AB$, а відрізок $CH$ — висота, опущена на гіпотенузу.

За метричним співвідношенням у прямокутному трикутнику, квадрат висоти дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу:
$C{H}^2=AH\cdot HB$

2. Знаходження частин діаметра

За умовою відрізки відносяться як $4:9$. Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$ ($x>0$). Тоді:
$AH=4x,HB=9x$

Оскільки довжина перпендикуляра $CH=12\text{ см}$, підставимо ці дані у формулу:
$12^2=4x\cdot 9x$
$144=36x^2$
$x^2=\frac{144}{36}$
$x^2=4$
$x=2$

Отже, довжини відрізків діаметра дорівнюють:
$AH=4\cdot 2=8\text{ см}$
$HB=9\cdot 2=18\text{ см}$

3. Обчислення радіуса та площі круга

Довжина всього діаметра $AB$:
$AB=AH+HB=8+18=26\text{ см}$

Радіус кола $R$ становить половину діаметра:
$R=\frac{AB}{2}=\frac{26}{2}=13\text{ см}$

Площу круга, обмеженого цим колом, обчислюємо за формулою:
$S=\pi R^2=\pi \cdot 13^2=169\pi {\text{ см}}^2$

Відповідь: $169\pi {\text{ см}}^2$.