Завдання № 33.13. § 33. Куля. Площа поверхні та об’єм кулі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть об’єм деталі, зображеної на малюнку 33.3 (розміри на малюнку подано у сантиметрах).

Покроковий розв’язок:
Деталь є складеним тілом, утвореним трьома геометричними тілами зі спільним радіусом основи $R=6\text{ см}$: конусом (зверху), циліндром (посередині) та півкулею (знизу).

Загальний об’єм деталі дорівнює сумі об’ємів цих складових частин.

1. Обчислення об’єму конуса
Висота конуса $h_1=7\text{ см}$, радіус його основи $R=6\text{ см}$.
За формулою об’єму конуса $V_1=\frac{1}{3}\pi R^2{h}_1$:
$V_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 6^2\cdot 7=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 36\cdot 7=12\cdot 7\cdot \pi =84\pi {\text{ (см}}^3\text{)}$

2. Обчислення об’єму циліндра
Висота циліндра $h_2=7\text{ см}$, радіус основи $R=6\text{ см}$.
За формулою об’єму циліндра $V_2=\pi R^2{h}_2$:
$V_2=\pi \cdot 6^2\cdot 7=36\cdot 7\cdot \pi =252\pi {\text{ (см}}^3\text{)}$

3. Обчислення об’єму півкулі
Об’єм кулі радіуса $R$ обчислюється за формулою $V_{\text{кулі}}=\frac{4}{3}\pi R^3$. Відповідно, об’єм півкулі дорівнює половині об’єму кулі:
$V_3=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3$
Підставимо значення радіуса $R=6\text{ см}$:
$V_3=\frac{2}{3}\cdot \pi \cdot 6^3=\frac{2}{3}\cdot \pi \cdot 216=2\cdot 72\cdot \pi =144\pi {\text{ (см}}^3\text{)}$

4. Обчислення загального об’єму деталі
Додамо об’єми всіх трьох складових:
$V=V_1+V_2+V_3=84\pi +252\pi +144\pi =480\pi {\text{ (см}}^3\text{)}$

Обчислимо наближене значення об’єму, взявши $\pi \approx 3,1416$:
$V=480\cdot \pi \approx 480\cdot 3,1416\approx 1508{\text{ см}}^3$

Відповідь:
$480\pi {\text{ см}}^3\approx 1508{\text{ см}}^3$.