Завдання № 33.12. § 33. Куля. Площа поверхні та об’єм кулі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть об’єм деталі, зображеної на малюнку 33.2 (розміри на малюнку подано у сантиметрах).

Покроковий розв’язок:

Деталь являє собою складене тіло, утворене трьома геометричними тілами: півкулею, циліндром та конусом. Загальний об’єм деталі дорівнює сумі об’ємів цих трьох тіл.

1. Обчислення об’єму верхньої частини (півкулі):
Радіус півкулі за малюнком дорівнює $R=3\text{ см}$.
Об’єм кулі визначається за формулою $V=\frac{4}{3}\pi R^3$, отже об’єм півкулі дорівнює половині об’єму кулі:
$V_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3$
Підставимо значення радіуса:
$V_1=\frac{2}{3}\pi \cdot 3^3=\frac{2}{3}\pi \cdot 27=18\pi {\text{ см}}^3$

2. Обчислення об’єму середньої частини (циліндра):
Діаметр циліндра $d=4\text{ см}$, відповідно його радіус становить:
$r=\frac{d}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ см}$
Висота циліндра $h_1=6\text{ см}$.
Об’єм циліндра обчислюється за формулою:
$V_2=\pi r^2{h}_1$
Підставимо числові дані:
$V_2=\pi \cdot 2^2\cdot 6=\pi \cdot 4\cdot 6=24\pi {\text{ см}}^3$

3. Обчислення об’єму нижньої частини (конуса):
Основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, тому радіус основи конуса також дорівнює $r=2\text{ см}$.
Висота конуса $h_2=3\text{ см}$.
Об’єм конуса обчислюється за формулою:
$V_3=\frac{1}{3}\pi r^2{h}_2$
Підставимо числові дані:
$V_3=\frac{1}{3}\pi \cdot 2^2\cdot 3=\frac{1}{3}\pi \cdot 4\cdot 3=4\pi {\text{ см}}^3$

4. Обчислення загального об’єму деталі:
Додамо об’єми всіх трьох складових частин:
$V=V_1+V_2+V_3=18\pi +24\pi +4\pi =46\pi {\text{ см}}^3$

Відповідь:
$46\pi {\text{ см}}^3$.