Завдання № 33.11. § 33. Куля. Площа поверхні та об’єм кулі (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Радіуси двох куль відносяться як $3 : 4$ . Як відносяться:

1) поверхні куль;

2) об’єми куль?

Покроковий розв’язок:

Нехай $R_{1}$ та $R_{2}$ — радіуси першої та другої куль відповідно. За умовою задачі:

\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{3}{4}

1. Знаходження відношення площ поверхонь куль

Площа поверхні кулі радіуса $R$ (площа сфери) обчислюється за формулою:

S = 4 π R^{2}

Запишемо відношення площ поверхонь двох заданих куль:

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{4 π R _{1}^{2}}{4 π R _{2}^{2}}

Скоротивши дріб на спільний множник $4 π$ , отримаємо:

\frac{S _{1}}{S _{2}} = (\frac{R _{1}}{R _{2}})^{2}

Підставимо відоме відношення радіусів:

\frac{S _{1}}{S _{2}} = (\frac{3}{4})^{2} = \frac{9}{16}

Отже, площі поверхонь куль відносяться як $9 : 16$ .

2. Знаходження відношення об’ємів куль

Об’єм кулі радіуса $R$ визначається за формулою:

V = \frac{4}{3} π R^{3}

Запишемо відношення об’ємів даних куль:

\frac{V _{1}}{V _{2}} = \frac{\frac{4}{3} π R _{1}^{3}}{\frac{4}{3} π R _{2}^{3}}

Скоротивши дріб на сталий коефіцієнт $\frac{4}{3} π$ , маємо:

\frac{V _{1}}{V _{2}} = (\frac{R _{1}}{R _{2}})^{3}

Підставимо значення відношення радіусів:

\frac{V _{1}}{V _{2}} = (\frac{3}{4})^{3} = \frac{27}{64}

Отже, об’єми куль відносяться як $27 : 64$ .

Відповідь:

1) $9 : 16$ ;

2) $27 : 64$ .