Завдання № 33.10. § 33. Куля. Площа поверхні та об’єм кулі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
З однакового матеріалу виготовлено дві кульки відповідно з діаметрами $4\text{ см}$ і $8\text{ см}$. У скільки разів маса першої кульки менша від маси другої?

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між масою та об’ємом кулі
Оскільки обидві кульки виготовлені з однакового матеріалу, їхня густина $\rho$ є однаковою. Маса тіла $m$ прямо пропорційна його об’єму $V$:
$m=\rho \cdot V$

Звідси випливає, що відношення мас двох кульок дорівнює відношенню їхніх об’ємів:
$\frac{m_2}{m_1}=\frac{\rho \cdot V_2}{\rho \cdot V_1}=\frac{V_2}{V_1}$

2. Вираження об’єму кулі через її діаметр
Об’єм кулі радіуса $R$ (і відповідно діаметра $d=2R$, звідки $R=\frac{d}{2}$) обчислюється за формулою:
$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{d^3}{8}=\frac{1}{6}\pi d^3$

3. Знаходження відношення мас кульок
Підставимо вираз для об’єму у формулу відношення мас:
$\frac{m_2}{m_1}=\frac{V_2}{V_1}=\frac{\frac{1}{6}\pi d_2^3}{\frac{1}{6}\pi d_1^3}={\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^3$

Враховуючи, що $d_1=4\text{ см}$ та $d_2=8\text{ см}$, отримуємо:
$\frac{m_2}{m_1}={\left(\frac{8}{4}\right)}^3=2^3=8$

Таким чином, маса другої кульки у $8$ разів більша за масу першої, а отже, маса першої кульки у $8$ разів менша від маси другої.

Відповідь:
У $8$ разів.