Завдання № 32. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Напишіть рівняння прямої, що є дотичною до кола $x^2-6x+y^2+8y=0$ у точці $A(-1;-1)$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення координат центра та радіуса кола

Зведемо задане рівняння кола до канонічного вигляду $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$, виділивши повні квадрати за змінними $x$ та $y$:

Отже, центром кола є точка $O(3;-4)$, а його радіус $R=5$.

Перевіримо, чи належить точка $A(-1;-1)$ цьому колу:

Рівність правильна, отже, точка $A$ дійсно лежить на колі.

2. Знаходження кутового коефіцієнта прямої, що містить радіус

За властивістю дотичної до кола, дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику ($OA\perp l_{\text{дот}}$).

Знайдемо кутовий коефіцієнт $k_{OA}$ прямої, що проходить через центр $O(3;-4)$ та точку дотику $A(-1;-1)$:

3. Складання рівняння дотичної прямої

Оскільки дотична перпендикулярна до радіуса $OA$, добуток їхніх кутових коефіцієнтів дорівнює $-1$ (умова перпендикулярності прямих):

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через точку $A(x_0;y_0)$, має вигляд:

Підставимо координати точки $A(-1;-1)$ та знайдений коефіцієнт $k_{\text{дот}}=\frac{4}{3}$:

Помножимо обидві частини рівняння на $3$, щоб позбутися дробу:

Перенесемо всі доданки в одну частину та запишемо загальне рівняння прямої:

Відповідь:
$4x-3y+1=0$ (або $y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$).