Завдання № 32. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

За даною хордою $a$ знайдіть довжину її дуги, градусна міра якої:

1) $30^{\circ }$;

2) $150^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Нехай точка $O$ — центр кола радіуса $R$, а відрізок $AB=a$ — задана хорда, що стягує дугу з градусною мірою $\alpha$. Тоді центральний кут, що спирається на цю хорду, дорівнює $\angle AOB=\alpha$.

Розглянемо рівнобедрений трикутник $AOB$, у якому бічні сторони є радіусами кола ($OA=OB=R$), основа дорівнює хорді ($AB=a$), а кут між бічними сторонами $\angle AOB=\alpha$.

Довжину дуги кола радіуса $R$, що відповідає центральному куту $\alpha$, обчислюють за формулою:
$l=\frac{\pi R}{180^{\circ }}\cdot \alpha$

1. Випадок, коли градусна міра дуги дорівнює $30^{\circ }$

За теоремою косинусів для трикутника $AOB$:
$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos \angle AOB$

Підставимо відомі значення:
$a^2=R^2+R^2-2\cdot R\cdot R\cdot \cos 30^{\circ }$
$a^2=2R^2-2R^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a^2=R^2(2-\sqrt{3})$

Виразимо радіус $R$:
$R=\frac{a}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз $\sqrt{2+\sqrt{3}}$:
$R=\frac{a\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}}=\frac{a\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{4-3}}=a\sqrt{2+\sqrt{3}}$

Обчислимо довжину дуги $l_1$:
$l_1=\frac{\pi R}{180^{\circ }}\cdot 30^{\circ }=\frac{\pi R}{6}=\frac{\pi a\sqrt{2+\sqrt{3}}}{6}$

2. Випадок, коли градусна міра дуги дорівнює $150^{\circ }$

За теоремою косинусів для трикутника $AOB$:
$a^2=R^2+R^2-2\cdot R\cdot R\cdot \cos 150^{\circ }$

Оскільки $\cos 150^{\circ }=-\cos (180^{\circ }-150^{\circ })=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$:
$a^2=2R^2-2R^2\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$a^2=2R^2+R^2\sqrt{3}$
$a^2=R^2(2+\sqrt{3})$

Виразимо радіус $R$:
$R=\frac{a}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз $\sqrt{2-\sqrt{3}}$:
$R=\frac{a\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}}=\frac{a\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{4-3}}=a\sqrt{2-\sqrt{3}}$

Обчислимо довжину дуги $l_2$:
$l_2=\frac{\pi R}{180^{\circ }}\cdot 150^{\circ }=\frac{5\pi R}{6}=\frac{5\pi a\sqrt{2-\sqrt{3}}}{6}$

Відповідь: 1) $\frac{\pi a\sqrt{2+\sqrt{3}}}{6}$; 2) $\frac{5\pi a\sqrt{2-\sqrt{3}}}{6}$.