Завдання № 32. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику $ABC$ відомо, що $\angle A=\alpha$, $\angle C=\gamma$, а сторона $AC=b$. Знайдіть довжину бісектриси $AL$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення кутів у трикутнику $ALC$
Оскільки відрізок $AL$ є бісектрисою кута $A$, вона ділить кут навпіл:
$\angle CAL=\frac{\angle A}{2}=\frac{\alpha }{2}$

Розглянемо трикутник $ALC$. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює $180^{\circ }$. Звідси знайдемо градусну міру кута $\angle ALC$:
$\angle ALC=180^{\circ }-(\angle CAL+\angle C)=180^{\circ }-\left(\frac{\alpha }{2}+\gamma \right)$

2. Застосування теореми синусів
За теоремою синусів для трикутника $ALC$:
$\frac{AL}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle ALC}$

Підставимо відомі величини:
$\frac{AL}{\sin \gamma }=\frac{b}{\sin \left(180^{\circ }-\left(\frac{\alpha }{2}+\gamma \right)\right)}$

За формулою зведення $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$, тому:
$\sin \left(180^{\circ }-\left(\frac{\alpha }{2}+\gamma \right)\right)=\sin \left(\frac{\alpha }{2}+\gamma \right)$

3. Обчислення довжини бісектриси $AL$
Виразимо шукану сторону $AL$:
$AL=\frac{b\cdot \sin \gamma }{\sin \left(\frac{\alpha }{2}+\gamma \right)}$

Відповідь:
$\frac{b\cdot \sin \gamma }{\sin \left(\frac{\alpha }{2}+\gamma \right)}$