Завдання № 32. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано вектори $\overrightarrow{a}(-2;3)$ та $\overrightarrow{b}(4;2)$. Порівняйте модулі векторів $\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ і $\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{a}-0,5\overrightarrow{b}$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження координат вектора $\overrightarrow{c}$
При множенні вектора на число кожна його координата множиться на це число:
$2\overrightarrow{a}=2\cdot (-2;3)=(-4;6)$

При додаванні векторів їхні відповідні координати додаються:
$\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-4+4;6+2)=(0;8)$

2. Обчислення модуля вектора $\overrightarrow{c}$
Модуль (довжина) вектора із координатами $(x;y)$ обчислюється за формулою $|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2}$:
$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{0^2+8^2}=\sqrt{64}=8$

3. Знаходження координат вектора $\overrightarrow{d}$
Знайдемо координати вектора $0,5\overrightarrow{b}$:
$0,5\overrightarrow{b}=0,5\cdot (4;2)=(2;1)$

При відніманні векторів їхні відповідні координати віднімаються:
$\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{a}-0,5\overrightarrow{b}=(-4-2;6-1)=(-6;5)$

4. Обчислення модуля вектора $\overrightarrow{d}$
За формулою довжини вектора:
$|\overrightarrow{d}|=\sqrt{(-6{)}^2+5^2}=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$

5. Порівняння модулів векторів
Запишемо значення модуля $|\overrightarrow{c}|$ у вигляді арифметичного квадратного кореня:
$|\overrightarrow{c}|=8=\sqrt{64}$

Оскільки підкореневий вираз $64>61$, маємо:
$\sqrt{64}>\sqrt{61}⟹|\overrightarrow{c}|>|\overrightarrow{d}|$

Відповідь:
$|\overrightarrow{c}|>|\overrightarrow{d}|$ (або $|\overrightarrow{d}|<|\overrightarrow{c}|$)