Завдання № 32. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано точки $A(-2;5)$ і $B(6;13)$. Знайдіть координати точки $F$, яка ділить відрізок $AB$ у відношенні $7:1$, починаючи від точки $A$.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричний зміст відношення
За умовою точка $F$ ділить відрізок $AB$ у відношенні $AF:FB=7:1$. Це означає, що весь відрізок $AB$ поділено на $7+1=8$ рівних частин. При цьому відрізок $AF$ містить $7$ таких частин, а відрізок $FB$ — $1$ частину.

Оскільки $8=2^3$, точку $F$ зручно знайти методом послідовного знаходження середин відрізків (як зображено на рисунку).

Нагадаємо формули координат середини відрізка з кінцями $(x_1;y_1)$ та $(x_2;y_2)$:
$x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{y_1+y_2}{2}$

2. Послідовний поділ відрізка навпіл

• Нехай точка $K$ — середина відрізка $AB$. Вона ділить відрізок на дві рівні частини (по $4$ восьмих частини відрізка від кожної з вершин):
  $x_K=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2$
  $y_K=\frac{5+13}{2}=\frac{18}{2}=9$
  Отже, координати точки $K(2;9)$.

• Нехай точка $M$ — середина відрізка $KB$. Вона відтинає ще половину від $4$ частин, тобто $2$ частини. Від початку $A$ до точки $M$ міститься $4+2=6$ частин:
  $x_M=\frac{x_K+x_B}{2}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$
  $y_M=\frac{y_K+y_B}{2}=\frac{9+13}{2}=\frac{22}{2}=11$
  Отже, координати точки $M(4;11)$.

• Точка $F$ є серединою відрізка $MB$. Вона ділить залишок у $2$ частини навпіл, додаючи ще $1$ частину. Від точки $A$ до точки $F$ виходить рівно $6+1=7$ частин, тобто $AF:FB=7:1$:
  $x_F=\frac{x_M+x_B}{2}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$
  $y_F=\frac{y_M+y_B}{2}=\frac{11+13}{2}=\frac{24}{2}=12$
  Отже, шукана точка має координати $F(5;12)$.

(Перевірка векторним способом: координати вектора $\overrightarrow{AB}=(6-(-2);13-5)=(8;8)$. Оскільки $\overrightarrow{AF}=\frac{7}{8}\overrightarrow{AB}$, маємо $\overrightarrow{AF}=\left(\frac{7}{8}\cdot 8;\frac{7}{8}\cdot 8\right)=(7;7)$. Тоді $x_F=-2+7=5$, $y_F=5+7=12$, що повністю узгоджується з отриманим результатом).

Відповідь:
$F(5;12)$