Завдання № 32. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
За яких умов $△ABC\sim △DEF$:

1) $\angle B=\angle E$;

2) $\angle A=40^{\circ }$, $\angle B=70^{\circ }$, $\angle D=40^{\circ }$, $\angle E=70^{\circ }$;

3) $AB=3\cdot DE$, $BC=3\cdot EF$;

4) $\angle A=\angle D=50^{\circ }$, $\angle B=40^{\circ }$, $\angle F=90^{\circ }$?

Покроковий розв’язок:

Для встановлення подібності трикутників скористаємося ознаками подібності трикутників:

• За двома кутами (якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника);
• За двома сторонами та кутом між ними (якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника і кути між ними рівні);
• За трьома сторонами (якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого).

1. Дослідження умови $\angle B=\angle E$
Рівності лише однієї пари відповідних кутів недостатньо для того, щоб трикутники були подібними. Для першої ознаки потрібно знати ще одну пару рівних кутів, або для другої ознаки — пропорційність сторін, що утворюють ці кути.
Отже, трикутники не обов’язково подібні.

2. Дослідження умови $\angle A=40^{\circ }$, $\angle B=70^{\circ }$, $\angle D=40^{\circ }$, $\angle E=70^{\circ }$
Порівняємо відповідні кути трикутників $△ABC$ і $△DEF$:

• $\angle A=\angle D=40^{\circ }$;
• $\angle B=\angle E=70^{\circ }$.

Два кути трикутника $△ABC$ відповідно дорівнюють двом кутам трикутника $△DEF$. За першою ознакою подібності трикутників (за двома кутами), $△ABC\sim △DEF$.
Отже, трикутники подібні.

3. Дослідження умови $AB=3\cdot DE$, $BC=3\cdot EF$
За умовою:
$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=3$
Ми маємо пропорційність двох пар відповідних сторін. Проте друга ознака подібності трикутників вимагає також рівності кутів між цими сторонами, тобто повинна виконуватися рівність $\angle B=\angle E$. Оскільки про кути між сторонами нічого не відомо, трикутники можуть не бути подібними.
Отже, трикутники не обов’язково подібні.

4. Дослідження умови $\angle A=\angle D=50^{\circ }$, $\angle B=40^{\circ }$, $\angle F=90^{\circ }$
Знайдемо третій кут трикутника $△ABC$ за теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle C=180^{\circ }-(\angle A+\angle B)=180^{\circ }-(50^{\circ }+40^{\circ })=90^{\circ }$
Знайдемо невідомий кут $\angle E$ трикутника $△DEF$:
$\angle E=180^{\circ }-(\angle D+\angle F)=180^{\circ }-(50^{\circ }+90^{\circ })=40^{\circ }$
Таким чином, у трикутниках $△ABC$ та $△DEF$:

• $\angle A=\angle D=50^{\circ }$;
• $\angle B=\angle E=40^{\circ }$;
• $\angle C=\angle F=90^{\circ }$.

Оскільки два кути трикутника $△ABC$ відповідно дорівнюють двом кутам трикутника $△DEF$ (наприклад, $\angle A=\angle D$ та $\angle B=\angle E$), то за першою ознакою подібності трикутників $△ABC\sim △DEF$.
Отже, трикутники подібні.

Відповідь:
Трикутники подібні за умов 2) і 4).