Завдання № 32.9. § 32. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Прямокутний трикутник, катет якого дорівнює $8\text{ см}$, а гіпотенуза — $17\text{ см}$, обертається навколо меншого катета. Знайдіть об’єм утвореного конуса.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження другого катета прямокутного трикутника

Нехай у прямокутному трикутнику відомий катет $a=8\text{ см}$, а гіпотенуза $c=17\text{ см}$.

За теоремою Піфагора знайдемо другий катет $b$:
$b^2=c^2-a^2$
$b^2=17^2-8^2=289-64=225$
$b=\sqrt{225}=15\text{ см}$

Порівняємо довжини катетів: оскільки $8\text{ см}<15\text{ см}$, меншим катетом є катет завдовжки $8\text{ см}$.

2. Визначення елементів утвореного конуса

Під час обертання прямокутного трикутника навколо катета утворюється конус, у якого:

• віссю обертання є цей катет, тому висота конуса дорівнює меншому катету: $h=8\text{ см}$;
• другий катет описує круг в основі, тобто є радіусом основи конуса: $r=15\text{ см}$;
• гіпотенуза є твірною конуса: $l=17\text{ см}$.

3. Обчислення об’єму конуса

Об’єм конуса обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Підставимо отримані значення:
$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 15^2\cdot 8=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 225\cdot 8=75\cdot \pi \cdot 8=600\pi {\text{ см}}^3$

Відповідь:
$600\pi {\text{ см}}^3$