Завдання № 32.7. § 32. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу повної поверхні конуса, твірна якого дорівнює $15\text{ см}$, а висота — $9\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження радіуса основи конуса

Розглянемо осьовий переріз конуса. Висота конуса $h$, радіус основи $r$ та твірна $l$ утворюють прямокутний трикутник, у якому твірна $l$ є гіпотенузою, а висота $h$ та радіус $r$ — катетами.

За теоремою Піфагора:
$l^2=h^2+r^2$

Звідси знайдемо радіус основи:
$r^2=l^2-h^2$
$r^2=15^2-9^2=225-81=144$
$r=\sqrt{144}=12\text{ см}$

2. Обчислення площі повної поверхні конуса

Площа повної поверхні конуса $S_{\text{повн}}$ дорівнює сумі площі бічної поверхні $S_{\text{бічн}}$ та площі основи $S_{\text{осн}}$:
$S_{\text{повн}}=S_{\text{бічн}}+S_{\text{осн}}=\pi \cdot r\cdot l+\pi \cdot r^2=\pi \cdot r\cdot (l+r)$

Підставимо відомі значення твірної $l=15\text{ см}$ та знайденого радіуса $r=12\text{ см}$:
$S_{\text{повн}}=\pi \cdot 12\cdot (15+12)=\pi \cdot 12\cdot 27=324\pi {\text{ см}}^2$

Відповідь: $324\pi {\text{ см}}^2$.