Завдання № 32.5. § 32. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Скільки жерсті потрібно для виготовлення конусоподібної лійки, твірна якої дорівнює $20\text{ см}$, а діаметр — $12\text{ см}$ (на шви витрачається $6\%$ матеріалу)?

Покроковий розв’язок:

Лійка має форму конуса без дна (основи), тому витрата жерсті без урахування швів відповідає площі бічної поверхні цього конуса.

1. Знаходження радіуса основи конуса

Діаметр основи лійки дорівнює $d=12\text{ см}$. Оскільки радіус дорівнює половині діаметра:
$r=\frac{d}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}$

2. Обчислення площі бічної поверхні конуса

Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою:
$S_{\text{біч}}=\pi \cdot r\cdot l$
де $r=6\text{ см}$ — радіус основи, $l=20\text{ см}$ — довжина твірної.

Підставимо числові дані:
$S_{\text{біч}}=\pi \cdot 6\cdot 20=120\pi {\text{ см}}^2$

3. Обчислення загальної кількості матеріалу з урахуванням швів

На виготовлення швів додатково витрачається $6\%$ матеріалу. Отже, вся необхідна кількість жерсті становить:
$100\%+6\%=106\%=1,06\text{ від площі бічної поверхні}$

Обчислимо загальну площу матеріалу $S$:
$S=1,06\cdot S_{\text{біч}}=1,06\cdot 120\pi =127,2\pi {\text{ см}}^2$

Якщо використати наближене значення $\pi \approx 3,14$:
$S\approx 127,2\cdot 3,14=399,408{\text{ см}}^2\approx 399,4{\text{ см}}^2$

Відповідь: $127,2\pi {\text{ см}}^2$ (або приблизно $399,4{\text{ см}}^2$).