Завдання № 32.18. § 32. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона правильного трикутника дорівнює $6\text{ см}$. Із його центра проведено коло, радіус якого дорівнює $2\text{ см}$. Знайдіть площу частини трикутника, що лежить поза кругом, обмеженим цим колом.

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення площі правильного трикутника

Площа правильного трикутника зі стороною $a=6\text{ см}$ обчислюється за формулою:
$S_{△}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Підставимо значення довжини сторони:
$S_{△}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

2. Визначення взаємного розміщення кола та сторін трикутника

Центр правильного трикутника є одночасно центром його вписаного та описаного кіл. Знайдемо відстань від центра до кожної зі сторін трикутника (радіус вписаного кола $r_{\text{вп}}$):
$r_{\text{вп}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}\text{ см}\approx 1,73\text{ см}$

Радіус описаного кола навколо цього ж трикутника дорівнює:
$R_{\text{оп}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\text{ см}\approx 3,46\text{ см}$

За умовою задано коло радіуса $r=2\text{ см}$ зі спільним центром $O$.
Оскільки $r_{\text{вп}}<r<R_{\text{оп}}$ ($\sqrt{3}<2<2\sqrt{3}$), коло перетинає кожну з трьох сторін трикутника у двох точках, утворюючи три рівні сегменти, які виходять за межі трикутника.

3. Знаходження площі кругового сегмента поза трикутником

Розглянемо один із сегментів, що виступає за сторону трикутника.
Центральний перпендикуляр від центра $O$ до сторони має довжину $r_{\text{вп}}=\sqrt{3}\text{ см}$. Він є бісектрисою, медіаною і висотою у рівнобедреному трикутнику, утвореному двома радіусами кола довжиною $r=2\text{ см}$ та хордою, яка відтинається стороною трикутника.

Нехай $\alpha$ — половина центрального кута цього сегмента. Тоді:
$\cos \alpha =\frac{r_{\text{вп}}}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Звідси $\alpha =30^{\circ }$, а повний центральний кут сегмента становить:
$\beta =2\alpha =2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }$

Площа кругового сектора з кутом $\beta =60^{\circ }$ та радіусом $r=2\text{ см}$:
$S_{\text{сект}}=\frac{\beta }{360^{\circ }}\cdot \pi r^2=\frac{60^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot \pi \cdot 2^2=\frac{1}{6}\cdot 4\pi =\frac{2\pi }{3}{\text{ см}}^2$

Площа рівнобедреного трикутника, утвореного двома радіусами та хордою:
$S_1=\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 2^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Тоді площа одного кругового сегмента, що виходить за межі трикутника:
$S_{\text{сегм}}=S_{\text{сект}}-S_1=\frac{2\pi }{3}-\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

4. Обчислення площі частини круга всередині трикутника

Увесь круг радіуса $r=2\text{ см}$ має площу:
$S_{\text{кр}}=\pi r^2=\pi \cdot 2^2=4\pi {\text{ см}}^2$

Частина круга, що лежить усередині трикутника, утворюється відніманням від площі круга трьох сегментів, що вийшли за межі трьох сторін:
$S_{\text{внутр}}=S_{\text{кр}}-3\cdot S_{\text{сегм}}=4\pi -3\cdot \left(\frac{2\pi }{3}-\sqrt{3}\right)=4\pi -2\pi +3\sqrt{3}=2\pi +3\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

5. Обчислення шуканої площі частини трикутника поза кругом

Шукана площа дорівнює різниці повної площі трикутника та площі частини круга, яка лежить усередині нього:
$S=S_{△}-S_{\text{внутр}}=9\sqrt{3}-\left(2\pi +3\sqrt{3}\right)=6\sqrt{3}-2\pi =2(3\sqrt{3}-\pi ){\text{ см}}^2$

Відповідь:
$2(3\sqrt{3}-\pi ){\text{ см}}^2$