Завдання № 32.17. § 32. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Якими плитками, що мають форму правильних многокутників, можна покрити підлогу, якщо використовують:

1) один вид плитки;

2) два види плитки?

Наведіть приклади покриття (відходами знехтувати).

Покроковий розв’язок:

Для того щоб плитками можна було повністю покрити площину підлоги без проміжків і накладань (утворити паркет), сума внутрішніх кутів многокутників, які сходяться в одній спільній вершині, повинна дорівнювати $360^{\circ }$.

Внутрішній кут $\alpha$ правильного $n$-кутника обчислюється за формулою:
$\alpha =\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}$

1. Покриття плиткою одного виду

Нехай у кожній вершині сходиться $k$ однакових правильних $n$-кутників ($k\ge 3$, $n\ge 3$). Тоді:
$k\cdot \alpha =360^{\circ }$
$k\cdot \frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}=360^{\circ }$

Поділимо обидві частини рівняння на $180^{\circ }$:
$\frac{k\cdot (n-2)}{n}=2⟹k\cdot (n-2)=2n⟹k\cdot n-2k-2n=0$

Додамо $4$ до обох частин і розкладемо на множники:
$(k-2)\cdot (n-2)=4$

Оскільки $k$ і $n$ — натуральні числа, більші або рівні $3$, то множники $(k-2)$ та $(n-2)$ є натуральними дільниками числа $4$. Можливі три випадки:

1) $n-2=1⟹n=3$ (рівносторонній трикутник). Тоді $k-2=4⟹k=6$. Кут правильного трикутника дорівнює $\alpha =\frac{180^{\circ }\cdot (3-2)}{3}=60^{\circ }$, а навколо вершини укладається $6$ плиток: $6\cdot 60^{\circ }=360^{\circ }$.

2) $n-2=2⟹n=4$ (квадрат). Тоді $k-2=2⟹k=4$. Кут квадрата дорівнює $\alpha =\frac{180^{\circ }\cdot (4-2)}{4}=90^{\circ }$, навколо вершини укладається $4$ плитки: $4\cdot 90^{\circ }=360^{\circ }$.

3) $n-2=4⟹n=6$ (правильний шестикутник). Тоді $k-2=1⟹k=3$. Кут правильного шестикутника дорівнює $\alpha =\frac{180^{\circ }\cdot (6-2)}{6}=120^{\circ }$, навколо вершини укладається $3$ плитки: $3\cdot 120^{\circ }=360^{\circ }$.

Інших розв’язків у натуральних числах немає. Отже, одним видом плитки покрити підлогу можна лише у випадку, якщо це правильні трикутники, квадрати або правильні шестикутники.

2. Покриття двома видами плитки

Якщо використовують два види правильних многокутників із внутрішніми кутами ${\alpha }_1$ та ${\alpha }_2$, то у вершині повинно сходитися $p$ плиток першого виду та $q$ плиток другого виду ($p\ge 1,q\ge 1$), щоб виконувалася рівність:
$p\cdot {\alpha }_1+q\cdot {\alpha }_2=360^{\circ }$

Розглянемо поширені приклади комбінацій:

• Правильні восьмикутники та квадрати:
  Кут правильного восьмикутника ($n=8$):
  ${\alpha }_1=\frac{180^{\circ }\cdot (8-2)}{8}=135^{\circ }$
  Кут квадрата ($n=4$): ${\alpha }_2=90^{\circ }$.
  У кожній вершині сходяться два восьмикутники та один квадрат:
  $2\cdot 135^{\circ }+1\cdot 90^{\circ }=270^{\circ }+90^{\circ }=360^{\circ }$
• Правильні шестикутники та рівносторонні трикутники:
  Кут правильного шестикутника ${\alpha }_1=120^{\circ }$, кут правильного трикутника ${\alpha }_2=60^{\circ }$.
  У вершині можуть сходитися, наприклад, два шестикутники та два трикутники:
  $2\cdot 120^{\circ }+2\cdot 60^{\circ }=240^{\circ }+120^{\circ }=360^{\circ }$
  (або один шестикутник і чотири трикутники: $1\cdot 120^{\circ }+4\cdot 60^{\circ }=360^{\circ }$).
• Правильні дванадцятикутники та рівносторонні трикутники:
  Кут правильного дванадцятикутника ($n=12$):
  ${\alpha }_1=\frac{180^{\circ }\cdot (12-2)}{12}=150^{\circ }$
  У вершині сходяться два дванадцятикутники та один трикутник:
  $2\cdot 150^{\circ }+1\cdot 60^{\circ }=300^{\circ }+60^{\circ }=360^{\circ }$

Відповідь:

1) Рівносторонні трикутники, квадрати або правильні шестикутники.

2) Можна використати комбінації: квадрати та правильні восьмикутники; рівносторонні трикутники та правильні шестикутники; рівносторонні трикутники та правильні дванадцятикутники.