Завдання № 32.16. § 32. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Радіуси описаного і вписаного у прямокутний трикутник кіл відповідно дорівнюють $5\text{ см}$ і $2\text{ см}$. Знайдіть площу трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай у прямокутному трикутнику $a$ і $b$ — катети, $c$ — гіпотенуза, $R$ — радіус описаного кола, а $r$ — радіус вписаного кола.

1. Знаходження гіпотенузи трикутника

Центр описаного кола прямокутного трикутника завжди лежить на середині гіпотенузи, отже, гіпотенуза дорівнює діаметру описаного кола:
$c=2\cdot R=2\cdot 5=10\text{ см}$

2. Знаходження суми катетів

Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, виражається через його сторони за формулою:
$r=\frac{a+b-c}{2}$

Помножимо обидві частини рівняння на $2$ та виразимо суму катетів $(a+b)$:
$a+b=2\cdot r+c$

Підставимо відомі значення:
$a+b=2\cdot 2+10=14\text{ см}$

3. Обчислення площі трикутника

Спосіб 1 (через півпериметр):
Знайдемо півпериметр трикутника $p$:
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{14+10}{2}=12\text{ см}$

Площа довільного трикутника через радіус вписаного кола обчислюється за формулою $S=p\cdot r$:
$S=12\cdot 2=24{\text{ см}}^2$

Спосіб 2 (алгебраїчний, через теорему Піфагора):
За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника:
$a^2+b^2=c^2=10^2=100$

Піднесемо суму катетів $(a+b)$ до квадрата:
$(a+b{)}^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2=(a^2+b^2)+2\cdot a\cdot b$

Підставимо значення $(a+b)=14$ та $a^2+b^2=100$:
$14^2=100+2\cdot a\cdot b$
$196=100+2\cdot a\cdot b$
$2\cdot a\cdot b=96$
$a\cdot b=48$

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=\frac{1}{2}\cdot 48=24{\text{ см}}^2$

Відповідь: $24{\text{ см}}^2$.