Завдання № 32.15. § 32. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Кут між векторами $a$ і $b$ дорівнює $4 5^{\circ}$ , $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 1$ . Знайдіть:

1) $a \cdot b$ ;

2) $a \cdot (a + b)$ ;

3) $b \cdot (a - b)$ ;

4) $a \cdot (2 a + 5 b)$ .

Покроковий розв’язок:

Для обчислення виразів скористаємося основними властивостями скалярного добутку векторів:

Скалярний добуток двох векторів визначається як добуток їхніх довжин (модулів) на косинус кута між ними:
$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos ∠ (a, b)$
Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини:
$a^{2} = ∣ a ∣^{2}$
Для скалярного добутку виконуються переставний та розподільний закони:
$a \cdot b = b \cdot a, a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

1. Обчислення скалярного добутку $a \cdot b$

Підставимо значення довжин векторів та косинуса кута $4 5^{\circ}$ у формулу:
$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos 4 5^{\circ} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{2}{2} = 2$

2. Обчислення $a \cdot (a + b)$

Розкриємо дужки за розподільною властивістю скалярного добутку:
$a \cdot (a + b) = a^{2} + a \cdot b = ∣ a ∣^{2} + a \cdot b$

Підставимо відомі значення:
$a \cdot (a + b) = 2^{2} + 2 = 4 + 2$

3. Обчислення $b \cdot (a - b)$

Розкриємо дужки, враховуючи, що $b \cdot a = a \cdot b$ :
$b \cdot (a - b) = b \cdot a - b^{2} = a \cdot b - ∣ b ∣^{2}$

Підставимо знайдені та задані величини:
$b \cdot (a - b) = 2 - 1^{2} = 2 - 1$

4. Обчислення $a \cdot (2 a + 5 b)$

Застосуємо розподільну та сполучну властивості скалярного добутку:
$a \cdot (2 a + 5 b) = 2 a^{2} + 5 (a \cdot b) = 2 \cdot ∣ a ∣^{2} + 5 (a \cdot b)$

Підставимо числові значення:
$a \cdot (2 a + 5 b) = 2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 = 2 \cdot 4 + 52 = 8 + 52$

Відповідь:

1) $2$ ;

2) $4 + 2$ ;

3) $2 - 1$ ;

4) $8 + 52$ .

Завдання № 32.15. § 32. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку