Завдання № 32.14. § 32. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Бічна поверхня конуса дорівнює $369\pi {\text{ см}}^2$. Знайдіть об’єм конуса, якщо його твірна дорівнює $41\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження радіуса основи конуса

Площа бічної поверхні конуса визначається за формулою:
$S_{\text{біч}}=\pi \cdot r\cdot l$
де $r$ — радіус основи конуса, а $l$ — довжина його твірної.

Підставимо відомі числові дані:
$369\pi =\pi \cdot r\cdot 41$

Поділимо обидві частини рівності на $41\pi$:
$r=\frac{369\pi }{41\pi }=9\text{ см}$

2. Обчислення висоти конуса

Висота конуса $h$, радіус основи $r$ та твірна $l$ утворюють прямокутний трикутник, у якому твірна є гіпотенузою.

За теоремою Піфагора:
$h^2+r^2=l^2$

Виразимо висоту $h$ та знайдемо її значення:
$h=\sqrt{l^2-r^2}$
$h=\sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1681-81}=\sqrt{1600}=40\text{ см}$

3. Обчислення об’єму конуса

Об’єм конуса обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{3}\pi \cdot r^2\cdot h$

Підставимо отримані значення радіуса $r=9\text{ см}$ і висоти $h=40\text{ см}$:
$V=\frac{1}{3}\pi \cdot 9^2\cdot 40=\frac{1}{3}\pi \cdot 81\cdot 40=27\cdot 40\cdot \pi =1080\pi {\text{ см}}^3$

Відповідь:
$1080\pi {\text{ см}}^3$.