Завдання № 32.13. § 32. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Об’єм конуса дорівнює $240\pi {\text{ см}}^3$. Знайдіть площу повної поверхні конуса, якщо його висота дорівнює $5\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження радіуса основи конуса

Об’єм конуса обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

де $r$ — радіус основи конуса, $h$ — його висота.

За умовою $V=240\pi {\text{ см}}^3$, $h=5\text{ см}$. Підставимо відомі значення у формулу:
$240\pi =\frac{1}{3}\pi \cdot r^2\cdot 5$

Поділимо обидві частини рівняння на $\pi$:
$240=\frac{5}{3}{r}^2$

Звідси знайдемо $r^2$:
$r^2=240\cdot \frac{3}{5}=48\cdot 3=144$

Оскільки радіус не може бути від’ємним числом:
$r=\sqrt{144}=12\text{ см}$

2. Обчислення твірної конуса

Висота конуса $SO=h$, радіус основи $OA=r$ та твірна $SA=l$ утворюють прямокутний трикутник $△SOA$ ($\angle SOA=90^{\circ }$).

За теоремою Піфагора:
$l=\sqrt{r^2+h^2}$

Підставимо отримані числові значення:
$l=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\text{ см}$

3. Обчислення площі повної поверхні конуса

Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площ його бічної поверхні ($S_{\text{біч}}=\pi rl$) та круга основи ($S_{\text{осн}}=\pi r^2$):
$S_{\text{повн}}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)$

Підставимо значення радіуса $r=12\text{ см}$ і твірної $l=13\text{ см}$:
$S_{\text{повн}}=\pi \cdot 12\cdot (13+12)=\pi \cdot 12\cdot 25=300\pi {\text{ см}}^2$

Відповідь: $300\pi {\text{ см}}^2$.