Завдання № 32.12. § 32. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Свинцевий циліндр, радіус основи якого дорівнює $4\text{ см}$, переплавили в конус із такою самою висотою. Знайдіть радіус основи конуса.

Покроковий розв’язок:

1. Формули об’ємів циліндра та конуса

Нехай $R_1=4\text{ см}$ — радіус основи циліндра, $R_2$ — радіус основи утвореного конуса, а $H$ — їхня спільна висота ($H>0$).

Об’єм циліндра обчислюється за формулою:
$V_{\text{цил}}=\pi \cdot R_1^2\cdot H=\pi \cdot 4^2\cdot H=16\pi H$

Об’єм конуса з радіусом основи $R_2$ та висотою $H$ дорівнює:
$V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}\pi \cdot R_2^2\cdot H$

2. Складання та розв’язання рівняння

Оскільки весь метал циліндра пішов на виготовлення конуса, їхні об’єми є рівними ($V_{\text{кон}}=V_{\text{цил}}$):
$\frac{1}{3}\pi \cdot R_2^2\cdot H=16\pi H$

Поділимо обидві частини рівності на спільний множник $\pi H$ (оскільки $H\ne 0$ та $\pi \ne 0$):
$\frac{1}{3}{R}_2^2=16$

Помножимо обидві частини рівняння на $3$:
$R_2^2=16\cdot 3=48$

Оскільки радіус не може бути від’ємним числом, знаходимо $R_2$:
$R_2=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\text{ см}$

Відповідь:
$4\sqrt{3}\text{ см}$.