Завдання № 32.11. § 32. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Свинцевий конус, радіус основи якого дорівнює $15\text{ см}$, переплавили в циліндр із такою самою висотою. Знайдіть радіус основи циліндра.

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між об’ємами фігур
Оскільки свинцевий конус переплавили в циліндр без втрати матеріалу, об’єм утвореного циліндра дорівнює об’єму початкового конуса:
$V_{\text{цил}}=V_{\text{кон}}$

За умовою висоти обох тіл однакові:
$H_{\text{цил}}=H_{\text{кон}}=H$

2. Застосування формул об’ємів
Об’єм конуса з радіусом основи $R_{\text{кон}}$ і висотою $H$ обчислюється за формулою:
$V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}\pi \cdot R_{\text{кон}}^2\cdot H$

Об’єм циліндра з радіусом основи $R_{\text{цил}}$ і висотою $H$ обчислюється за формулою:
$V_{\text{цил}}=\pi \cdot R_{\text{цил}}^2\cdot H$

3. Знаходження радіуса циліндра
Прирівняємо вирази для об’ємів:
$\pi \cdot R_{\text{цил}}^2\cdot H=\frac{1}{3}\pi \cdot R_{\text{кон}}^2\cdot H$

Поділимо обидві частини рівності на спільний множник $\pi \cdot H$ (оскільки $\pi \ne 0$ та $H>0$):
$R_{\text{цил}}^2=\frac{1}{3}\cdot R_{\text{кон}}^2$

Підставимо значення радіуса основи конуса $R_{\text{кон}}=15\text{ см}$:
$R_{\text{цил}}^2=\frac{1}{3}\cdot 15^2=\frac{225}{3}=75$

Оскільки радіус має додатне значення, отримуємо:
$R_{\text{цил}}=\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}\text{ (см)}$

Відповідь:
$5\sqrt{3}\text{ см}$