Завдання № 32.10. § 32. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Прямокутний трикутник, катет якого дорівнює $16\text{ см}$, а гіпотенуза — $20\text{ см}$, обертається навколо більшого катета. Знайдіть об’єм утвореного конуса.

Покроковий розв’язок:

1. Знайдемо другий катет трикутника

Нехай у прямокутному трикутнику відомий катет $a=16\text{ см}$, а гіпотенуза $c=20\text{ см}$.

За теоремою Піфагора знайдемо невідомий катет $b$:
$b=\sqrt{c^2-a^2}$

Підставимо числові значення:
$b=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12\text{ см}$

Порівняємо довжини катетів: $16\text{ см}>12\text{ см}$. Отже, більшим катетом є катет довжиною $16\text{ см}$.

2. Визначимо геометричні параметри конуса

При обертанні прямокутного трикутника навколо більшого катета утворюється конус, у якого:

• віссю обертання і висотою конуса є більший катет: $h=16\text{ см}$;
• радіусом основи конуса є менший катет: $r=12\text{ см}$;
• твірною конуса є гіпотенуза: $l=20\text{ см}$.

3. Обчислимо об’єм конуса

Об’єм конуса обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Підставимо отримані значення радіуса основи та висоти:
$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 12^2\cdot 16=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 144\cdot 16=48\cdot 16\cdot \pi =768\pi {\text{ см}}^3$

Відповідь:
$768\pi {\text{ см}}^3$