Завдання № 31. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Дано відрізок $AB$ і точку $O$, яка йому не належить. Побудуйте відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$, у який перейде відрізок $AB$ при повороті навколо точки $O$:

1) на $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки;

2) на $20^{\circ }$ за годинниковою стрілкою.

Покроковий розв’язок:

За означенням повороту навколо точки $O$ на кут $\alpha$, кожна точка $X$ фігури переходить у таку точку $X^{\prime }$, що:

• $O{X}^{\prime }=OX$;
• $\angle XO{X}^{\prime }=\alpha$ у заданому напрямку (за годинниковою стрілкою або проти неї).

Оскільки поворот є рухом (переміщенням), він переводить відрізок у рівний йому відрізок. Тому для побудови образу відрізка $AB$ достатньо знайти образи його кінців — точок $A$ та $B$, після чого сполучити отримані точки $A^{\prime }$ і $B^{\prime }$.

1. Побудова при повороті на $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки

План побудови:

1) Сполучаємо точку $O$ з кінцями відрізка $AB$ — отримуємо промені $OA$ та $OB$.

2) Від променя $OA$ відкладаємо кут $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки та будуємо промінь. На цьому промені відкладаємо відрізок $O{A}^{\prime }$, такий що $O{A}^{\prime }=OA$.

3) Від променя $OB$ відкладаємо кут $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки та будуємо промінь. На цьому промені відкладаємо відрізок $O{B}^{\prime }$, такий що $O{B}^{\prime }=OB$.

4) Сполучаємо точки $A^{\prime }$ і $B^{\prime }$ відрізком.

Відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$ — шуканий образ відрізка $AB$.

2. Побудова при повороті на $20^{\circ }$ за годинниковою стрілкою

План побудови:

1) Сполучаємо точку $O$ з кінцями відрізка $AB$ — отримуємо промені $OA$ та $OB$.

2) За допомогою транспортира відкладаємо від променя $OA$ кут $20^{\circ }$ за годинниковою стрілкою. На утвореному промені за допомогою циркуля або лінійки відкладаємо відрізок $O{A}^{\prime }=OA$.

3) Від променя $OB$ відкладаємо кут $20^{\circ }$ за годинниковою стрілкою. На утвореному промені відкладаємо відрізок $O{B}^{\prime }=OB$.

4) Сполучаємо точки $A^{\prime }$ і $B^{\prime }$ відрізком.

Відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$ — шуканий образ відрізка $AB$.

Відповідь:
Побудовано відрізки $A^{\prime }{B}^{\prime }$ згідно з кроками алгоритму:

1) відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$, утворений поворотом точок $A$ і $B$ навколо точки $O$ на кут $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки ($O{A}^{\prime }=OA$, $O{B}^{\prime }=OB$, $\angle AO{A}^{\prime }=\angle BO{B}^{\prime }=90^{\circ }$);

2) відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$, утворений поворотом точок $A$ і $B$ навколо точки $O$ на кут $20^{\circ }$ за годинниковою стрілкою ($O{A}^{\prime }=OA$, $O{B}^{\prime }=OB$, $\angle AO{A}^{\prime }=\angle BO{B}^{\prime }=20^{\circ }$).