Завдання № 31. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Сторони трикутника дорівнюють $2\text{ см}$, $3\text{ см}$ і $4\text{ см}$. Знайдіть радіус кола, що проходить через кінці більшої сторони і середину меншої сторони.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель задачі

Нехай у $△ABC$ сторони мають довжини:

• $AB=2\text{ см}$ (менша сторона);
• $AC=3\text{ см}$;
• $BC=4\text{ см}$ (більша сторона).

Точка $K$ — середина сторони $AB$, отже:
$BK=\frac{AB}{2}=\frac{2}{2}=1\text{ см}$

Коло проходить через точки $B$, $C$ та середину меншої сторони — точку $K$. Отже, це коло є описаним навколо трикутника $KBC$. Позначимо його радіус через $R$.

2. Знаходження косинуса кута $B$

За теоремою косинусів для $△ABC$:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B$

Виразимо $\cos \angle B$:
$\cos \angle B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}$

Підставимо значення сторін:
$\cos \angle B=\frac{2^2+4^2-3^2}{2\cdot 2\cdot 4}=\frac{4+16-9}{16}=\frac{11}{16}$

3. Обчислення довжини відрізка $CK$

Розглянемо $△KBC$. Сторони $BK=1\text{ см}$, $BC=4\text{ см}$ та кут $\angle B$ між ними. Застосуємо теорему косинусів:
$C{K}^2=B{K}^2+B{C}^2-2\cdot BK\cdot BC\cdot \cos \angle B$

Підставимо відомі величини:
$C{K}^2=1^2+4^2-2\cdot 1\cdot 4\cdot \frac{11}{16}=1+16-8\cdot \frac{11}{16}=17-\frac{11}{2}=\frac{23}{2}$

Звідси:
$CK=\sqrt{\frac{23}{2}}\text{ см}$

4. Знаходження синуса кута $B$

Оскільки $\angle B$ — кут трикутника ($0^{\circ }<\angle B<180^{\circ }$), його синус є додатним:
$\sin \angle B=\sqrt{1-{\cos }^2\angle B}$

$\sin \angle B=\sqrt{1-{\left(\frac{11}{16}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{121}{256}}=\sqrt{\frac{135}{256}}=\frac{\sqrt{9\cdot 15}}{16}=\frac{3\sqrt{15}}{16}$

5. Знаходження радіуса кола $R$

За теоремою синусів для $△KBC$, відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру описаного кола:
$\frac{CK}{\sin \angle B}=2R$

Звідси знайдемо радіус $R$:
$R=\frac{CK}{2\cdot \sin \angle B}$

Підставимо значення $CK$ та $\sin \angle B$:
$R=\frac{\sqrt{\frac{23}{2}}}{2\cdot \frac{3\sqrt{15}}{16}}=\frac{\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}}{\frac{3\sqrt{15}}{8}}=\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{8}{3\sqrt{15}}=\frac{8\sqrt{23}}{3\sqrt{30}}$

Звільнимося від ірраціональності в знаменнику дробу:
$R=\frac{8\sqrt{23}\cdot \sqrt{30}}{3\cdot 30}=\frac{8\sqrt{690}}{90}=\frac{4\sqrt{690}}{45}\text{ см}$

Відповідь:
$\frac{4\sqrt{690}}{45}\text{ см}$