Завдання № 31. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть точку, рівновіддалену від точок $A(-5;2)$ і $B(1;4)$, якщо її абсциса й ордината між собою рівні.

Покроковий розв’язок:

1. Введення позначень шуканої точки
Нехай шукана точка має назву $M$. За умовою її абсциса та ордината рівні між собою. Позначимо їх через $x$, тоді координати точки $M$ записуються як:
$M(x;x)$

2. Застосування умови рівновіддаленості
Оскільки точка $M$ однаково віддалена від точок $A(-5;2)$ і $B(1;4)$, відстані $MA$ та $MB$ рівні:
$MA=MB$
Звідси випливає рівність їхніх квадратів:
$M{A}^2=M{B}^2$

За формулою відстані між двома точками на площині:
$d^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2$

Знайдемо квадрати відстаней $M{A}^2$ та $M{B}^2$:
$M{A}^2=(x-(-5){)}^2+(x-2{)}^2=(x+5{)}^2+(x-2{)}^2$
$M{B}^2=(x-1{)}^2+(x-4{)}^2$

3. Складання та розв’язування рівняння
Прирівняємо вирази для квадратів відстаней:
$(x+5{)}^2+(x-2{)}^2=(x-1{)}^2+(x-4{)}^2$

Розкриємо дужки за формулами скороченого множення (квадрат суми та квадрат різниці):
$x^2+10x+25+x^2-4x+4=x^2-2x+1+x^2-8x+16$

Зведемо подібні доданки в кожній частині рівняння:
$2x^2+6x+29=2x^2-10x+17$

Віднімемо $2x^2$ від обох частин рівняння:
$6x+29=-10x+17$

Перенесемо доданки зі змінною $x$ у ліву частину, а числові доданки — у праву:
$6x+10x=17-29$
$16x=-12$
$x=-\frac{12}{16}$

Скоротимо отриманий дріб на $4$:
$x=-\frac{3}{4}\text{ (або }-0,75\text{)}$

Отже, абсциса шуканої точки дорівнює $-\frac{3}{4}$, і оскільки ордината дорівнює абсцисі, точка має координати $\left(-\frac{3}{4};-\frac{3}{4}\right)$.

4. Геометрична ілюстрація
Геометрично шукана точка $M$ є точкою перетину прямої $y=x$ та серединного перпендикуляра до відрізка $AB$.

Відповідь: $\left(-\frac{3}{4};-\frac{3}{4}\right)$ або $(-0,75;-0,75)$