Завдання № 31.18. § 31. Циліндр. Площа поверхні та об’єм циліндра (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

У $△ A B C$ бісектриси $A K$ і $B M$ перетинаються в точці $I$ , причому $A I : I K = 2 : 1$ , а $B I : I M = 4 : 1$ . Знайдіть найбільший кут трикутника $A B C$ .

Покроковий розв’язок:

Позначимо довжини сторін трикутника стандартним чином:
$B C = a, A C = b, A B = c$

Точка $I$ перетину бісектрис трикутника є центром вписаного кола.

1. Використання властивості бісектриси для кута $A$

Розглянемо $△ A B K$ . Відрізок $B I$ є бісектрисою кута $B$ . За властивістю бісектриси трикутника відношення сторін дорівнює відношенню відрізків, на які бісектриса ділить протилежну сторону:
$\frac{A B}{B K} = \frac{A I}{I K}$

За умовою $\frac{A I}{I K} = \frac{2}{1} = 2$ , тому:
$\frac{c}{B K} = 2 ⟹ B K = \frac{c}{2}$

Оскільки точка $K$ лежить на стороні $B C = a$ , маємо:
$K C = B C - B K = a - \frac{c}{2}$

Відрізок $A K$ є бісектрисою $△ A B C$ . За теоремою про бісектрису кута трикутника:
$\frac{A B}{A C} = \frac{B K}{K C}$

Підставимо відомі значення:
$\frac{c}{b} = \frac{\frac{c}{2}}{a - \frac{c}{2}} = \frac{c}{2 a - c}$

Звідси:
$b = 2 a - c ⟹ 2 a = b + c (1)$

2. Використання властивості бісектриси для кута $B$

Розглянемо $△ A B M$ . Відрізок $A I$ є бісектрисою кута $A$ . За властивістю бісектриси:
$\frac{A B}{A M} = \frac{B I}{I M}$

За умовою $\frac{B I}{I M} = \frac{4}{1} = 4$ , звідки:
$\frac{c}{A M} = 4 ⟹ A M = \frac{c}{4}$

Оскільки точка $M$ лежить на стороні $A C = b$ :
$M C = A C - A M = b - \frac{c}{4}$

Відрізок $B M$ є бісектрисою $△ A B C$ . За теоремою про бісектрису трикутника:
$\frac{A B}{B C} = \frac{A M}{M C}$

Підставимо довжини:
$\frac{c}{a} = \frac{\frac{c}{4}}{b - \frac{c}{4}} = \frac{c}{4 b - c}$

Звідси:
$a = 4 b - c ⟹ 4 b = a + c (2)$

3. Знаходження співвідношення між сторонами

Утворимо систему лінійних рівнянь з рівностей $(1)$ та $(2)$ :

{b + c = 2 a a + c = 4 b

Віднімемо друге рівняння від першого:
$(b + c) - (a + c) = 2 a - 4 b$
$b - a = 2 a - 4 b ⟹ 5 b = 3 a ⟹ b = \frac{3}{5} a = 0, 6 a$

Підставимо знайдений вираз для $b$ у перше рівняння:
$c = 2 a - b = 2 a - 0, 6 a = 1, 4 a$

Отже, сторони трикутника пропорційні:
$a : b : c = a : 0, 6 a : 1, 4 a = 1 : 0, 6 : 1, 4$

У будь-якому трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут. Оскільки $c = 1, 4 a$ є найбільшою стороною, найбільшим кутом трикутника є кут $C$ , що лежить проти сторони $A B = c$ .

4. Обчислення найбільшого кута за теоремою косинусів

За теоремою косинусів для сторони $c$ :
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C$

Підставимо значення сторін, виражені через $a$ :
$(1, 4 a)^{2} = a^{2} + (0, 6 a)^{2} - 2 \cdot a \cdot 0, 6 a \cdot cos C$
$1, 96 a^{2} = a^{2} + 0, 36 a^{2} - 1, 2 a^{2} \cdot cos C$
$1, 96 a^{2} = 1, 36 a^{2} - 1, 2 a^{2} \cdot cos C$

Поділимо обидві частини рівняння на $a^{2}$ ( $a \neq = 0$ ):
$1, 96 = 1, 36 - 1, 2 \cdot cos C$
$1, 2 \cdot cos C = 1, 36 - 1, 96$
$1, 2 \cdot cos C = - 0, 6$
$cos C = - \frac{0 , 6}{1 , 2} = - 0, 5$

Оскільки $cos C = - \frac{1}{2}$ , кут $C$ дорівнює:
$∠ C = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$

Відповідь:
$12 0^{\circ}$ .

Завдання № 31.18. § 31. Циліндр. Площа поверхні та об’єм циліндра (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку