Завдання № 31.16. § 31. Циліндр. Площа поверхні та об’єм циліндра (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Медіани трикутника, довжини яких становлять $15\text{ см}$ і $18\text{ см}$, взаємно перпендикулярні. Знайдіть площу трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай у трикутнику $△ABC$ проведено медіани $A{A}_1$ та $B{B}_1$, які перетинаються в точці $O$. За умовою задачі:
$A{A}_1=15\text{ см}$, $B{B}_1=18\text{ см}$, а кут між ними дорівнює $90^{\circ }$ ($A{A}_1\perp B{B}_1$).

1. Знаходження відрізків медіан від вершин до точки перетину

За теоремою про властивість медіан трикутника, усі три медіани перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини:
$AO=\frac{2}{3}\cdot A{A}_1=\frac{2}{3}\cdot 15=10\text{ см}$
$BO=\frac{2}{3}\cdot B{B}_1=\frac{2}{3}\cdot 18=12\text{ см}$

2. Обчислення площі прямокутного трикутника $AOB$

Оскільки медіани перпендикулярні ($A{A}_1\perp B{B}_1$), кут $\angle AOB=90^{\circ }$. Отже, трикутник $△AOB$ є прямокутним із катетами $AO$ та $BO$.

Його площа дорівнює половині добутку катетів:
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot BO=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60{\text{ см}}^2$

3. Знаходження площі всього трикутника $ABC$

Точка перетину медіан розбиває трикутник на три рівновеликих трикутники: $△AOB$, $△BOC$ та $△AOC$. Тобто площа кожного з них становить третину від площі всього трикутника:
$S_{△AOB}=\frac{1}{3}\cdot S_{△ABC}$

Звідси знаходимо шукану площу $△ABC$:
$S_{△ABC}=3\cdot S_{△AOB}=3\cdot 60=180{\text{ см}}^2$

Відповідь: $180{\text{ см}}^2$.