Завдання № 31.15. § 31. Циліндр. Площа поверхні та об’єм циліндра (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Два кути одного трикутника дорівнюють відповідно двом кутам другого трикутника. Сторони першого трикутника відносяться як $3:4:5$. Знайдіть сторони та площу другого трикутника, якщо його периметр дорівнює $60\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Встановлення подібності трикутників
За першою ознакою подібності трикутників (за двома кутами), якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники є подібними.

Оскільки відповідні сторони подібних трикутників пропорційні, то сторони другого трикутника відносяться так само, як і сторони першого, тобто у відношенні $3:4:5$.

2. Обчислення сторін другого трикутника
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x\text{ см}$ ($x>0$). Тоді довжини сторін другого трикутника становлять $3x\text{ см}$, $4x\text{ см}$ та $5x\text{ см}$.

Оскільки периметр трикутника дорівнює $60\text{ см}$, складемо рівняння:
$3x+4x+5x=60$
$12x=60$
$x=5$

Обчислимо сторони другого трикутника:

• перша сторона: $3\cdot 5=15\text{ см}$;
• друга сторона: $4\cdot 5=20\text{ см}$;
• третя сторона: $5\cdot 5=25\text{ см}$.

3. Визначення виду трикутника та обчислення його площі
Перевіримо виконання теореми, оберненої до теореми Піфагора, для сторін знайденого трикутника:
$15^2+20^2=225+400=625$
$25^2=625$

Оскільки $15^2+20^2=25^2$, то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, другий трикутник є прямокутним із катетами $a=15\text{ см}$, $b=20\text{ см}$ та гіпотенузою $c=25\text{ см}$.

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$
$S=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 20=15\cdot 10=150{\text{ см}}^2$

Відповідь: сторони другого трикутника дорівнюють $15\text{ см}$, $20\text{ см}$, $25\text{ см}$; площа дорівнює $150{\text{ см}}^2$.