Завдання № 31.12. § 31. Циліндр. Площа поверхні та об’єм циліндра (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу поверхні й об’єм циліндра, утвореного обертанням прямокутника зі сторонами $4\text{ см}$ і $5\text{ см}$ навколо:

1) більшої сторони;

2) меншої сторони.

Покроковий розв’язок:

Під час обертання прямокутника навколо сторони утворюється циліндр. Сторона прямокутника, навколо якої здійснюється обертання, є віссю циліндра, а її довжина дорівнює висоті циліндра $h$. Суміжна сторона прямокутника під час обертання описує круг і є радіусом основи циліндра $r$.

Формули для обчислення повної площі поверхні циліндра $S$ та його об’єму $V$:
$S=2\pi r(r+h)$
$V=\pi r^{2}h$

1. Обертання навколо більшої сторони

Оскільки віссю обертання є більша сторона прямокутника, то:

• висота циліндра: $h=5\text{ см}$;
• радіус основи циліндра: $r=4\text{ см}$.

Обчислимо площу повної поверхні циліндра:
$S=2\pi \cdot 4\cdot (4+5)=8\pi \cdot 9=72\pi {\text{ см}}^2$

Обчислимо об’єм циліндра:
$V=\pi \cdot 4^2\cdot 5=\pi \cdot 16\cdot 5=80\pi {\text{ см}}^3$

2. Обертання навколо меншої сторони

Оскільки віссю обертання є менша сторона прямокутника, то:

• висота циліндра: $h=4\text{ см}$;
• радіус основи циліндра: $r=5\text{ см}$.

Обчислимо площу повної поверхні циліндра:
$S=2\pi \cdot 5\cdot (5+4)=10\pi \cdot 9=90\pi {\text{ см}}^2$

Обчислимо об’єм циліндра:
$V=\pi \cdot 5^2\cdot 4=\pi \cdot 25\cdot 4=100\pi {\text{ см}}^3$

Відповідь:

1) $72\pi {\text{ см}}^2$; $80\pi {\text{ см}}^3$;

2) $90\pi {\text{ см}}^2$; $100\pi {\text{ см}}^3$.