Завдання № 31.11. § 31. Циліндр. Площа поверхні та об’єм циліндра (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Навколо якої сторони треба обертати прямокутник зі сторонами $a=4\text{ см}$ і $b=6\text{ см}$, щоб утворився циліндр з:

1) більшою бічною поверхнею;

2) більшою повною поверхнею;

3) більшим об’ємом?

Покроковий розв’язок:

Під час обертання прямокутника навколо однієї зі своїх сторін утворюється циліндр, віссю якого є ця сторона, висотою — довжина цієї сторони, а радіусом основи — довжина суміжної сторони.

Розглянемо два можливі випадки обертання прямокутника.

Випадок 1. Обертання навколо меншої сторони $a=4\text{ см}$

У цьому випадку віссю обертання є сторона довжиною $4\text{ см}$:

• висота циліндра: $h_1=4\text{ см}$;
• радіус основи: $r_1=6\text{ см}$.

Обчислимо геометричні характеристики утвореного циліндра:

1) Площа бічної поверхні циліндра:
$S_{\text{біч }1}=2\pi r_1{h}_1=2\pi \cdot 6\cdot 4=48\pi {\text{ см}}^2$

2) Площа повної поверхні циліндра:
$S_{\text{повн }1}=2\pi r_1(r_1+h_1)=2\pi \cdot 6\cdot (6+4)=12\pi \cdot 10=120\pi {\text{ см}}^2$

3) Об’єм циліндра:
$V_1=\pi r_1^2{h}_1=\pi \cdot 6^2\cdot 4=\pi \cdot 36\cdot 4=144\pi {\text{ см}}^3$

Випадок 2. Обертання навколо більшої сторони $b=6\text{ см}$

У цьому випадку віссю обертання є сторона довжиною $6\text{ см}$:

• висота циліндра: $h_2=6\text{ см}$;
• радіус основи: $r_2=4\text{ см}$.

Обчислимо геометричні характеристики утвореного циліндра:

1) Площа бічної поверхні циліндра:
$S_{\text{біч }2}=2\pi r_2{h}_2=2\pi \cdot 4\cdot 6=48\pi {\text{ см}}^2$

2) Площа повної поверхні циліндра:
$S_{\text{повн }2}=2\pi r_2(r_2+h_2)=2\pi \cdot 4\cdot (4+6)=8\pi \cdot 10=80\pi {\text{ см}}^2$

3) Об’єм циліндра:
$V_2=\pi r_2^2{h}_2=\pi \cdot 4^2\cdot 6=\pi \cdot 16\cdot 6=96\pi {\text{ см}}^3$

Порівняння отриманих результатів

1) Для бічної поверхні:
$S_{\text{біч }1}=S_{\text{біч }2}=48\pi {\text{ см}}^2$
Площі бічних поверхонь однакові, тому вибір сторони не має значення.

2) Для повної поверхні:
$120\pi {\text{ см}}^2>80\pi {\text{ см}}^2⟹S_{\text{повн }1}>S_{\text{повн }2}$
Більшу повну поверхню має циліндр, утворений обертанням навколо сторони $4\text{ см}$.

3) Для об’єму:
$144\pi {\text{ см}}^3>96\pi {\text{ см}}^3⟹V_1>V_2$
Більший об’єм має циліндр, утворений обертанням навколо сторони $4\text{ см}$.

Відповідь:

1) вибір сторони не має значення (площі бічних поверхонь однакові);

2) навколо сторони $4\text{ см}$;

3) навколо сторони $4\text{ см}$.