Завдання № 30. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Точки $M_{1}$ і $M_{2}$ лежать на прямій $a x + b y + c = 0$ . Доведіть, що вектор $M_{1} M_{2}$ перпендикулярний до вектора $p (a; b)$ .

Покроковий розв’язок:

1. Координати точок і вектори
Нехай точки мають координати $M_{1} (x_{1}; y_{1})$ та $M_{2} (x_{2}; y_{2})$ .
Тоді координати вектора $M_{1} M_{2}$ визначаються як різниця відповідних координат його кінця та початку:
$M_{1} M_{2} (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})$

Вектор $p$ задано координатами: $p (a; b)$ .

2. Використання рівняння прямої
За умовою, точки $M_{1}$ і $M_{2}$ належать прямій $a x + b y + c = 0$ . Отже, їхні координати задовольняють рівняння прямої:

{a x_{1} + b y_{1} + c = 0 a x_{2} + b y_{2} + c = 0

Віднімемо почленно від другого рівняння системи перше:
$(a x_{2} + b y_{2} + c) - (a x_{1} + b y_{1} + c) = 0$
$a (x_{2} - x_{1}) + b (y_{2} - y_{1}) = 0$

3. Скалярний добуток векторів та умова перпендикулярності
Обчислимо скалярний добуток векторів $p$ та $M_{1} M_{2}$ через їхні координати:
$p \cdot M_{1} M_{2} = a \cdot (x_{2} - x_{1}) + b \cdot (y_{2} - y_{1})$

З рівності, отриманої в попередньому пункті, випливає:
$p \cdot M_{1} M_{2} = 0$

За теоремою про скалярний добуток, якщо скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори є перпендикулярними:
$M_{1} M_{2} ⊥ p$

Твердження повністю доведено.

Відповідь:
Доведено.

Завдання № 30. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку