Завдання № 30. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Периметр прямокутної трапеції становить $60\text{ см}$, а більша бічна сторона — $17\text{ см}$. Знайдіть довжину кола, вписаного у трапецію.

Покроковий розв’язок:

1. Використання властивості описаного чотирикутника

Нехай $ABCD$ — прямокутна трапеція з основами $BC$ і $AD$, у якій бічна сторона $AB$ перпендикулярна до основ ($\angle A=\angle B=90^{\circ }$), а $CD$ — більша бічна сторона, $CD=17\text{ см}$.

За властивістю чотирикутника, в який вписано коло, суми його протилежних сторін рівні між собою і дорівнюють половині периметра:
$AB+CD=BC+AD=\frac{P}{2}$

Підставимо значення периметра $P=60\text{ см}$:
$AB+CD=\frac{60}{2}=30\text{ см}$

2. Знаходження меншої бічної сторони трапеції

Знаючи, що сума бічних сторін дорівнює $30\text{ см}$, а більша бічна сторона $CD=17\text{ см}$, знайдемо довжину меншої бічної сторони $AB$:
$AB=30-CD=30-17=13\text{ см}$

3. Обчислення довжини вписаного кола

Оскільки бічна сторона $AB$ перпендикулярна до основ трапеції, вона є її висотою. Висота прямокутної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює діаметру $d$ цього кола:
$d=AB=13\text{ см}$

Довжину кола обчислюємо за формулою:
$C=\pi \cdot d$

$C=13\pi \text{ см}$

Відповідь:
$13\pi \text{ см}$