Завдання № 30. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну йому сторону на частини, обернено пропорційні синусам прилеглих до цієї сторони кутів.

Покроковий розв’язок:

1. Введення позначень
Розглянемо довільний трикутник $△ABC$.
Проведемо бісектрису внутрішнього кута $A$ до перетину зі стороною $BC$ у точці $K$.
За означенням бісектриси вона ділить кут $\angle A$ навпіл, тому позначимо:

Бісектриса $AK$ розбиває протилежну сторону $BC$ на два відрізки: $BK$ та $KC$. Кути трикутника, прилеглі до сторони $BC$, — це $\angle B$ та $\angle C$.

2. Застосування теореми синусів до утворених трикутників
За теоремою синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута є величиною сталою:

• У трикутнику $△ABK$ для сторони $BK$ (протилежний кут $\angle BAK=\alpha$) та спільної сторони $AK$ (протилежний кут $\angle B$):

  $$\frac{BK}{\sin \alpha }=\frac{AK}{\sin \angle B}$$

  Звідси виразимо довжину відрізка $BK$:

  $$BK=\frac{AK\cdot \sin \alpha }{\sin \angle B}$$

• У трикутнику $△ACK$ для сторони $KC$ (протилежний кут $\angle CAK=\alpha$) та спільної сторони $AK$ (протилежний кут $\angle C$):

  $$\frac{KC}{\sin \alpha }=\frac{AK}{\sin \angle C}$$

  Звідси виразимо довжину відрізка $KC$:

  $$KC=\frac{AK\cdot \sin \alpha }{\sin \angle C}$$

3. Знаходження відношення частин сторони
Знайдемо відношення відрізків $BK$ і $KC$:

Скоротивши спільний чисельник $AK\cdot \sin \alpha$, одержуємо:

4. Висновок
З рівності $\frac{BK}{KC}=\frac{\sin \angle C}{\sin \angle B}$ (або $BK\cdot \sin \angle B=KC\cdot \sin \angle C$) випливає, що довжини утворених відрізків сторони $BC$ обернено пропорційні синусам відповідних прилеглих до неї кутів $\angle B$ та $\angle C$.

Твердження повністю доведено.

Відповідь:
Доведено, що $\frac{BK}{KC}=\frac{\sin \angle C}{\sin \angle B}$, отже, відрізки обернено пропорційні синусам прилеглих кутів.